решить контрольную по математике

Ответ от Ѓдачник[гуру]
Задание № 1. Продифференцировать функции: y= 3x^4-2x^3+8, y \' = 12x^3 - 6x^2 y= 5^xlnx, y \' = 5^x*ln 5*ln x + 5^x*1/x = 5^x*(ln 5*ln x + 1/x) y= arctg4x, y \' = 4 / (1 + (4x)^2) = 4 / (1 + 16x^2) Задание № 2. Решить уравнение y\'(x)= 1 и неравенство y\'(x)≤3: y= 2x^2-3x+4 y \' = 4x - 3 а) 4x - 3 = 1, x = 1 б) 4x - 3 <= 3, x <= 6/4, x <= 3/2 Задание № 3. Составить уравнение касательной к графику заданной функции в точке с абсциссой x0=2 и найти угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс: y=x^2-8 Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Х, то есть угловому коэффициенту касательной. y \' = 2x, y \' (2) = 4. Касательная : y = 4x + b, она проходит через точку x0 = 2, y0 = 2^2 - 8 = -4, отсюда -4 = 4*2 + b, b = -12. Касательная : y = 4x - 12, угол ее наклона Alfa = arctg(4) Задание № 4. Исследовать заданную функцию на монотонность и экстремумы: y=2x^2-3x+5 Экстремумы - это точки, в которых производная равна 0. y \' = 4x - 3 = 0, x = 3/4, y(3/4) = 2*9/16 - 3*3/4 + 5 = 9/8 - 9/4 + 5 = 31/8 Ветви направлены вверх, поэтому функция убывает на (-оо, 3/4) и возрастает на (3/4, +оо) Задание № 5. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба: y= 2x^3-6x Точки перегиба - это точки, в которых вторая производная равна 0. y \' = 6x^2 - 6; y \'\' = 12x = 0, x = 0, y(0) = 0 При х < 0 вторая производная y \'\' < 0, функция выпуклая вверх. При х > 0 вторая производная y \'\' > 0, функция выпуклая вниз. Задание № 6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции при х принадлежеит (-1;4) y=x^2-2x-3 Точка экстремума y \' = 2x - 2 = 0, x = 1, y(1) = 1 - 2 - 3 = -4 Найдем значения на концах отрезка. y(-1) = 1 + 2 - 3 = 0, y(4) = 16 - 8 - 3 = 5 Ответ: Минимум x = 1, y(1) = -4; Максимум x = 4, y(4) = 5 Задание № 7. Слишком объемное, не возьмусь делать.