Автор Блондинка=* задал вопрос в разделе Домашние задания
Как разложить: sin^4(a)+cos^4(a) и sin^6(a)+cos^6(a) ? и получил лучший ответ
Ответ от Александр Титов[гуру]
Всё правильно - по сумме кубов. Надо только учесть, что sin^6(a) и cos^6(a) - это кубы. Будет sin^6(a) + cos^6(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)) (sin^4(a) - sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a))ю Первыя скобка - это 1 (основное тригонометрическое тождество) . Остаётся sin^4(a) + cos^4(a) - sin^2(a)cos^2(a) Теперь разложим sin^4(a) + cos^4(a). Для этого прибавим и отнимем 2sin^2(a)cos^2(a), чтобы был полный квадрат sin^4(a) + cos^4(a) = sin^4(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) - 2sin^2(a)cos^2(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)^2 - 2sin^2(a)cos^2(a). То, что под первой скобкой - это всё таже единица, в квадрате она даст единицу, значит будет 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) Осталось разложить sin^6(a) + cos^6(a) = sin^4(a) + cos^4(a) - sin^2(a)cos^2(a). Здесь sin^4(a) + cos^4(a) это 1 - 2sin^2(a)cos^2(a), значит будет 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) - sin^2(a)cos^2(a) = 1 - 3sin^2(a)cos^2(a) Можно ещё 3sin^2(a)cos^2(a) представить в виде (3/4) * 4sin^2(a)cos^2(a) = (3/4)*(2sin(a)cos(a))^2 = (3/4)*sin^2(2a) и окончательно sin^6(a) + cos^6(a) = 1 - (3/4)*sin^2(2a) Так же и sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - (1/2)*sin^2(2a)
sin^4(a) + cos^4(a) = 0.25(1 - cos(2a))^2 + 0.25(1 + cos(2a))^2 = 0.25 - 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) + 0.25 + 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) = 0.5 + 0.5cos^2(2a) = 0.5(1 + 0.5 + 0.5cos(4a)) = 0.75 + 0.25cos(4a) - так можно представить
Ответ. (sin(a))^4+(cos(a))^4+2*(sin(a)*cos(a))^2-2*(sin(a)*cos(a))^2 =((sin(a))^2+(cos(a))^2)^2-2*(sin(a)*cos(a))^2=1-0,5*(sin(2*a))^2; (sin(a))^6+(cos(a))^6=((sin(a))^2+(cos(a))^2)*((sin(a))^4+(cos(a))^4-(sin(a)*cos(a))^2)=((sin(a))^4+(cos(a))^4-3*(s