сходящиеся и расходящиеся последовательности

Ответ от Ѐоман Насонов[гуру]
Последовательность, стремящаяся к бесконечности годится?
Например, последовательность частичных сумм ряда сумма (1/k) для k от 1 до бесконечности.
a(n) = 1+1/2+1/3+...+1/n
Это гармонический ряд, a(n) стремится к бесконечности (т. е. последовательность расходится) .
a(n+p) - a(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + .+1(n+p) <= p*1/(n+1) < p/n
0< a(n+p) - a(n) < p/n
Отсюда видим, что a(n+p) - a(n) стремится к нулю для любого заданного p.
Если хочется чтобы и бесконечного предела не было - можно поиграть со знаками у слагаемых так, чтобы последовательность "гуляла" в заданном интервале, например от -1 до 1:
Ставим у 1/k минусы, пока a(n) не дойдёт до -1, потом ставим плюсы, пока a(n) не дойдёт до 1, потом снова минусы до -1 и т. д. Тогда будет выполнено неравенство -p/n < a(n+p) - a(n) < p/n, т. е. a(n+p) - a(n) по-прежнему стремится к нулю.