сумма арктангенсов

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
1) раскладываем знаменатель но множители (три квадратных трёхчлена)
2) представляем дробь в виде суммы элементариных дробей, в знаменателях которых стоят те самые квадратные трёхчлены
2) и интегрируем (получится сумма арктангенсов и логарифмов)
Более подробно.
1) 1+x^6 = (1+x²)(1−x²+x^4) = (1+x²)((1+x²)²−(x√3)²) =
= (1+x²)(1−x√3+x²)(1+x√3+x²)
Полученные сомножители не имеют действительных решений.
2) ищем разложение исходной дроби в виде суммы
1/(1+x^6) = A/(1+x²) + (Bx+C)/(1−x√3+x²) + (Bx−C)/(1+x√3+x²)
После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов получаем систему линейных уравнений для нахождения A, B, C:
{A+2B√3+2C=1
{2B√3+2C−A=0
{A+2C=1
Решая эту систему, получаем: A=C=1/3; B=−1/(2√3).
Таким образом,
1/(1+x^6) = 1/[3(1+x²)] − (x/(2√3)−1/3)/(1−x√3+x²) + (x/2√3+1/3)(1+x√3+x²)
3) А дальше представляем квадратные трёхчлены в виде
1±x√3+x&sup2 = (x±√3/2)²+ (½)²
и т. д. ⇒ искомый интеграл получится в виде суммы трёх арктангенсов и двух логарифмов (логарифмы можно будет объединить)
Доводить решение до конца нет времени. Надеюсь, теперь Вы сможете сделать это самостоятельно.