свойства первообразной

Ответ от Vik[активный]
Первообразная. Основное свойство первообразной функции.
При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х) =tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х) . Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х) =с постоянна на промежутке J, если f`(х) =0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2- х1), т. к. f`(с) =0, то f(х2)= f(х1)
Теорема: (Основное свойство первообразной функции)
Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х) +С, где С - любое действительное число.
Доказательство:
Пусть F`(х) = f (х) , тогда (F(х) +С) `= F`(х) +С`= f (х) , для х Є J.
Допустим существует Φ(х) - другая первообразная для f (х) на промежутке J, т. е. Φ`(х) = f (х) ,
тогда (Φ(х) - F(х)) ` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х) - F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х) - F(х) = С.
Откуда Φ(х) = F(х) +С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х) +С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым