tarasov guru

Ответ от AlexeyG[гуру]
Вы, наверно, В ФМШ учитесь?
Тривиальное решение видно сразу: x=C, т. е. в нашем случае x=2. Посмотрим, есть ли другие решения.
Касательная к кривой y=f(x) в т. x0: y = y0 + f'(x0)(x-x0), т. е.
y - x*f'(x0) + x0*f'(x0) - y0 = 0. Это общее уравнение прямой вида Ax+By+C=0.
Расстояние от (0,0) до этой касательной (длина перпендикуляра) равно
d = (A*0+B*0+C ) /sqrt(A^2+B^2) = x0*f'(x0)-y0) / sqrt( 1 + (f'(x0))^2 ) = x0.
Отсюда имеем дифуру для кривой: (xy'-y)^2 = x^2 *( 1 + (y')^2 ).
2xy'y = y^2-x^2
y' = 1/2*( y/x - x/y )
Замена: y/x = z, y=x*z, y'=xz'+z, откедова
xz' = 1/2(z-1/z) - z = -1/2*(1/z+z)
dz/(z+1/z) = -1/2*dx/x
Интегрируем:
1/2*ln(1+z^2) + C = - 1/2*ln(x)
Откуда x*(1+z^2) = C1, и
x*(1+y^2/x^2) = C1, т. е. y^2 = C1*x-x^2.
Подставляя A(2;3), получим искомое уравнение кривой. Это окружность, что ли?
Не уверен, что не напартачил, но я старался 🙂
Проверять не буду - сами попробуйте. Не понимаю, почему тривиальное x=2 не вошло в решения..
Стася
Знаток
(336)
А куда мы подставляем эти значения? (2 и 3) В последнее уравнение вместо х и у?