теорема чевы

Ответ от Парус[гуру]
14.1. Теорема Чевы
Теорема Чевы.
Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки Отрезки, и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
Доказательство
Необходимость. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке O . Проведем через вершину B треугольника прямую a ║ AC (рис. 14.1.1). Пусть прямые и пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников и по двум углам ( как накрест лежащие и как вертикальные) имеем:
Аналогично из подобия треугольников и по двум углам ( и – как пары накрест лежащих) :
Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( и ) получаем
Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.
Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки и проходят через одну точку.
Пусть O – точка пересечения отрезков и а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO . Тогда из только что доказанного следует, что
Сравнивая с условием теоремы, получим Следовательно, точки C' и совпадают.
Рисунок 14.1.1. Наряду с приведенной теоремой в приложениях бывает необходимо использовать обобщение этой теоремы. Прежде чем дать его формулировку, сделаем предварительно необходимые соглашения. На прямой AB возьмем произвольную точку C, отличную от точек A и B . Тогда векторы и коллинеарны. Так как то Отсюда, если точка C лежит на отрезке AB, то и если же C лежит вне отрезка AB, то и Будем в дальнейшем понимать отношение отрезков AC и CB, лежащих на одной прямой «со знаком» , в описанном выше смысле.
Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и пересекает прямые BC, CA, AB в точках соответственно (рис. 14.1.2). Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
Рисунок 14.1.2. Доказательство
Для случая параллельных прямых (слева на рисунке 14.1.2) из теоремы Фалеса имеем соотношение
Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.
Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом Тогда, проведя через вершину B прямую найдем точку B' ее пересечения с прямой AC . Как и в случае доказательства первой теоремы, получим
Если λ > 0, то B' и B 1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B 1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A 1 на отрезке BC или точка C 1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B 1 и B 1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке 14.1.2). Треугольник AC 1 C подобен треугольнику BC 1 M . Отсюда следует из подобия треугольников AA 1 C и NA 1 B получаем Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.