теорема кантора о равномерной непрерывности

Ответ от Natalia[гуру]
С Евгением Федоровым не поспоришь, он фактически привел определение. ))
На пальцах так на пальцах. Попросту говоря, равномерно непрерывная на множестве Е функция - непрерывная на этом множестве функция без внезапных резких перепадов "за короткое время", то есть при малом изменении аргумента.
Графически. Представьте, что Вы по множеству Е, расположенному на оси Ох, везете отрезок. Если хотите линейку, чтобы не было тенденции к "расползанию" точек. Концы ее, х1, х2, расположены на произвольно малом расстоянии δ. (Если Вам трудно представить отрезок длины δ, возьмите δ= 2 мм:)). Вот Вы этот отрезок везете, он Вас уже не волнует, лишь бы не выехал за множество Е, а Вы в это время смотрите на значения функции в концах этого отрезка по оси Oy и на расстояние между ними.
Что должно насторожить? В каких ситуациях равномерной непрерывности не будет?
1) Неограниченное увеличение этого расстояния, неограниченное расползание значений функции на концах отрезка.
1.1. Это бывает, во-первых, в случае наличия вертикальных асимптот в граничных точках множества Е (пример: y=1/x, E=(0,1)).
1.2. Во-вторых, если множество неограниченно, а производная - бесконечно большая на бесконечности. (Для дифф. функций) .
Пример: у=x^2, E=[-∞.0]. Но у'=2x →-∞ и функция действительно не является равномерно непрерывной.
2) Увеличение частоты колебаний при практически неизменной амплитуде.
Пример: у=sin (1/x ), Е= (0, +∞). Тянем наш отрезочек по оси Ох влево, к нулю, и начиная с некоторого момента увидим, что минимальное значение регулярно попадает в один конец, а максимальное - в другой, за счет чего разность значений функции будет периодически равна двум. А это не может быть меньше произвольного ε.
Схожий пример, только с проблемами на бесконечности - y=sin (x^2), E= R.
И в ситуации (1), и в ситуации (2) имеем наличие резких перепадов за короткое время у непрерывной функции, не свойственное поведению функции на остальной части множества Е. Непрерывность, но не равномерная. Неодинаковая, да.
Какие функции, наоборот, заведомо будут равномерно непрерывны?
1) Функции, непрерывные на отрезке. (Теорема Кантора. )
2) Непрерывные функции с ограниченной там, где она существует, производной. Следует из теоремы Лагранжа.
Замечу, что обратное неверно: из неограниченности производной не следует отсутствие равномерной непрерывности. Пример: y= √ x, Е=(0, +∞).
3) Непрерывные периодические функции - хоть где. ("График пилы":)) кстати, тоже) .
А вааще, это надо лектора слушать. Как он руками машет, рассказывает, показывает, по графику ползает... ))
С Новым Годом! Удачной сессии.