теорема о четырех точках трапеции

Ответ от Ciber[гуру]
Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD. Пусть точки L, М - середины оснований ВС и AD соответственно, О - точка пересечения диагоналей, К -точка пересечения продолжений боковых сторон. Так как ВС // AD и KL делит ВС пополам, то по теореме Фалеса KL делит AD в том же отношении, то есть пересекает AD в точке М. Значит, точки К, L, М лежат на одной прямой. К принадлежит LM. Рассмотрим треугольники AOD и СОВ. Они подобны по двум углам: угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4. Из подобия следует СО/АО = ВС/AD. Соединим точки К и О с точками L и М, так как LC = ВС/2, AM = AD/2, то LC/AM = BC/AD. Значит треугольники OLC и ОМА подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, угол 5 равен углу 6,то есть эти углы вертикальны, отсюда следует, что точки 0,L,M, то есть точки К, L, М и О лежат на одной прямой.