теорема о делении с остатком

Ответ от Ангелина Шведова[активный]
Теорема Безу
Теорема Безу Этьен Безу– французский математик, член Парижской Академии Наук ( с 1758 года ),
родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768
года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения
систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории
определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений
высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К.
Маклореном ) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не
более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года
был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-
69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной
алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на
этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем
учёного названа одна из основных теорем алгебры. Теорема Безу. Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a.
Пусть : Pn(x) – данный многочлен степени n, двучлен (x-a) - его делитель, Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен
степени n-1 ) , R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как
делитель первой степени относительно x ).Доказательство : Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать : Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда при x = a : Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R= =0+R=R .Значит, R = Pn (a) , т. е. остаток от деления полинома на
(x-a) равен значению этого
полинома при x=a, что и требовалось доказать. Следствия из теоремы .
Следствие 1 : Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b равен значению этого полинома при x = -b/a, т. е. R=Pn (-b/a) .
Доказательство : Согласно правилу деления многочленов : Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .
При x= -b/a : Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит, R
= Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.
Следствие 2: Если число a является корнем многочлена P (x) , то этот многочлен делится на (x-a) без остатка .Доказательство : По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x-
a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это
значит, что P (a) = 0, что и требовалось доказать. Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения
уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P, имеющих первую степень ( линейных делителей ) .
Следствие 3 : Если многочлен P (x) имеет попарно различные корни a1, a2 , … , an, то он делится на произведение (x-a1) … (x-an) без остатка .Доказательство : Проведём доказательство с помощью математической индукции по
числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2 .
Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k ,
это значит, что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x-
a2) … (x-ak) , где a1, a2 , … , ak - его корни. Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней .По
предположению индукции a1, a2, ak , … , ak+1 являются корнями
многочлена, а, значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x-
ak) , откуда выходит, что P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).
При этом ak+1 – корень многочлена P(x) , т. е. P(ak+1) = 0 .
Значит, подставляя вместо x ak+1, получаем верное равенство
: P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) = =0 .
Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak, и потому ни одно из
чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0. Следовательно, нулю
равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x). А из
следствия 2 выходит, что Q(x) делится на x-ak+1 без
остатка. Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) = =(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x). Это и означает, что P(x) делится на (x-a1) … (x-
ak+1) без остатка. Итак, доказано, что теорема верна при k =