теорема о единственности предела

Ответ от Ол957[гуру]

Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство.
Пусть последовательность xn одновремменно имеет два предела, A и B, неравных между собой. Тогда по определению предела, для любого ε>0, а в том числе и для верно, что начиная с некоторого n1 вся последовательность xn лежит в ε-окресности A и начиная с некоторого n2 вся последовательность xn лежит в ε-окресности B. Тогда пуская nε = max(n1, n2), а тогда начиная с этого nε последовательнось обязана лежать в ε-окресности двух этих точек одновремменно, что не возможно, так как ε-окресности точек A и B не пересекаются.
Значит, такое невозможно, и последовательность может иметь не более одного предела.
Для функций доказывается так же.