Обратная теорема виета
Автор Schkolnitsa8klasschkolnitsa8klas задал вопрос в разделе Естественные науки
помогите понять теорему обратную теореме Виета спасибо на конкретных примерах и получил лучший ответ
Ответ от Lera Aleksiyuk[гуру]
Мы ее как раз недавно проходили!! ! Если в квадратном уравнении коэффициент a - число, из которого легко извлечь квадратный корень целого рационального числа, а его дискриминант больше 0, то найдя корни, можно выполнить проверку: если сумма корней равна числу, обратному коэффициенту b, а их произведение - числу, в точности повторяющему коэффициент c - то решение выполнено верно. Теорема, обратная теореме Виета помогает выполнить решение: Если коэффициент a - число, из которого легко извлечь квадратный корень целого рационального числа, то сумма х1 и x2 будет равна числу, обратному коэффициенту b, а их произведение в точности повторяющее коэффициент c. Нужно подобрать эти два числа.
Например:
-х²-3х+2=0 Это приведенное квадратное уравнение. Значит мы можем воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета.
х1+х2=3
х1х2=2
Начинаем решать с произведения. Какие числа дают в произведении 2? 1 и 2, -1 и -2.
Пробуем сложить: 1+2=3, -1-2= -3. Первая пара чисел нам подходит.
Ответ: х1=1; х2=2.
Я сама решала это уравнение при Людмиле Михайловне. Пожалуйста, выбери мой ответ лучшим, я так долго все это писала!
Сумма корней приведённого квадратного уравнения ( коэффициент при x? равен1) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
Теорема Виета:
В квадратном уравнении ах^2+вх+с=0 корни х1 и х2 связаны соотношением:
х1+х2=-в/а, х1*х2=с/а.
Обратная теорема:
Если сумма чисел равна р, а произведение q,
то данные числа являются корнями квадратного уравнения х^2- рх+q=0.
Прямая теорема: из условия следует заключение.
Обратная теорема: из заключения следует условие.
ax2+bx+c=0
a+b=cтеорема виета
c-a=b теор обр теореме виета
По праву в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова:
В числителе С, в знаменателе А,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда-
В числителе b, в знаменателе a.
Решим уравнение x² -5х+6 =0
Дискриминант = 25-24=1 тогда х=(5+1) /2 =3 и х=(5 -1) /2 =2
3 и 2 корни уравнения. Виет первым заметил, что если корни сложить 3+2=5 то получается второй коэффициент уравнения с обратным знаком, а если корни перемножить 3*2=6 то получается последний коэффициент квадратного уравнения. Он сформулировал две теоремы
Прямая теорема
Сумма корней приведённого квадратного уравнения ( коэффициент при x² равен1) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
Обратная теорема
Если числа а и в таковы, что а+в= -р, а*в =q, то эти числа есть корни уравнения x² +рх+q =0
C помощью обратной теоремы можно многие квадратные уравнения решать устно, методом подбора
1) x² -11х+24=0 нужно подобрать такие два числа, чтобы при умножении было 24, а при сложении 11. Это 8 и 3 Значит х=8 и х=3
2) x²+11х+30 =0 подбираем такие два числа а и в чтобы
а*в =30 и а+в = - 11 это -5 и -6 значит х= -5 и х= -6
3) x² + х -12 =0 это числа -4 и 3 тогда х= -4 и х=3
Если потренироваться, то корни можно подбирать очень быстро
Если уравнение не приведённое ( первое число отлично от 1) то
можно каждое слагаемое уравнения разделить на это первое число и тогда уравнение станет приведённым