теорема птолемея для четырехугольника вписанного в круг
Автор Пользователь удален задал вопрос в разделе Образование
Господа, дайте пожалуйста ссылку на доказательство теоремы Птолемея или само это доказательство, пожалуйста! и получил лучший ответ
Ответ от Мила Бец[гуру]
В третьей книге «Начал» Евклид доказывает, что «у четырехсторонников (вписанных) в кругах противоположные углы вместе равны двум прямым» . Эта теорема изучается в школе.
Обратная теорема, которая тоже изучается в школе, отсутствует в «Началах» . Она была доказана Клавдием Птолемеем. Он же доказал и другое известное предложение, так называемую «теорему Птолемея» : «Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах» . Современная формулировка этой теоремы следующая: произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Для доказательства проведем отрезок ВР так, чтобы
< АВР = < DBC
Из подобия треугольников АВР и DBC следует:
АВ · CD = AP · BD (1)
Из подобия же треугольников РВС и ADB имеем:
BC · AD =PC · BD (2)
Складывая почленно равенства (1) и (2), получим:
АВ · CD + ВС · AD = АС · BD
Основываясь на этой теореме, Птолемей находил по хордам двух дуг хорды их разности и суммы и по хорде какой-нибудь дуги хорду ее половины и таким образом составил свою таблицу хорд.
Пусть в круге данного радиуса R известны хорды АВ = с, АС = b и пусть требуется найти хорду ВС = а, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами АС и АВ.
Проведя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к четырехугольнику ABCD, имеем:
b · BD =c · CD + a · 2R
Откуда
Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD и ACD, в которых известная гипотенуза AD = 2R и катеты bиc.
В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина которых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны правильных многоугольников, вписанных в круг: треугольника (хорда дуги в 120°), квадрата (90°), шестиугольника (60°), пятиугольника (72°) и десятиугольника (36°). Взяв хорду, соответствующую 120°, и применив свою теорему, Птолемей вычислил хорды дуг 12°, 6°, 3°, 11/2, 3/4. Хорду дуги в 1° Птолемей вычислил c большой точностью, показав, что она меньше 4/3 хорды в 3°/4 и больше 2/3 хорды в 3°/2.
Техника тригонометрических вычислений достигла дальнейшего значительного развития в астрономических трудах индийских ученых V — XII вв. В отличие от Птолемея они вычисляли уже не хорды, а полухорды, линии синуса, основываясь на выражении длин сторон правильных вписанных многоугольников через длину радиуса круга.
Источник: