теорема тангенсов

Ответ от Андрей Суворов[гуру]
Доказательство теоремы тангенсов По теореме синусов: a = 2*R*sin(A) b = 2*R*sin(B) Отсюда следует: a+b = 2*R*(sin(A) + sin(B)) a-b = 2*R*(sin(A) - sin(B)) (a+b)/(a-b) = (sin(A) + sin(B))/(sin(A) - sin(B)) sin(A) + sin(B) = 2*sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2) sin(A) - sin(B) = 2*sin((A-B)/2)*cos((A+B)/2) (a+b)/(a-b) = sin((A+B)/2)/cos((A+B)/2) * cos((A-B)/2)/sin((A-B)/2) Но так как sin((A+B)/2)/cos((A+B)/2) = tg((A+B)/2) и cos((A-B)/2)/sin((A-B)/2) = ctg((A-B)/2), то (a+b)/(a-b) = tg((A+B)/2) * ctg((A-B)/2) = tg((A+B)/2) / tg((A-B)/2) Кроме того, для треугольника выполняется равенство A+B = 180-C, откуда следует, что tg((A+B)/2) = tg((180-C)/2) = tg(90-C/2). Но по формуле приведения tg(90-X) = ctg(X) и тогда окончательно (a+b)/(a-b) = tg((A+B)/2) / tg((A-B)/2) = ctg(C/2) / tg((A-B)/2) К слову сказать, данная теорема тангенсов известна еще и как формула Региомонтана.. .