точка н

Ответ от Иван Иваныч[активный]
Пусть Р - точка пересечения прямой АС и прямой ВН. Тогда АР = ВР = 18, так как АРВ - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ = 18*sqrt(2). Таковым же является и треугольник СРН с гипотенузой СН = 12*sqrt(2) (Углы АВР =45 градусам и НСА - со взаимно перпендикулярными сторонами). Следовательно, НР = РС =12 и, в случае, когда точка Р лежит на отрезке АС (угол С не тупой) , АС = АР + РС = 30. Итак, треугольники АВС, АНС. АМС и АКС имеют общее основание АС = 30 и высоты соответственно 18, 12, 6 (это легко следует из свойства "2:1" медиан и подобия треугольников: спроектируй точку М на высоту ВР) и (12+6)/2 =9 (аналогично: спроектируй К на ВР). В таком случае искомая площадь равна 30*9/2=135.
Теперь второй случай (как водится в нынешних Снепомнюкакойномер ЕГЭ) : угол С - тупой и точка Н лежит вне треугольника АВС, точка Р - на продолжении отрезка АС. В этом случае (точно так же) АС = АР - СР =18 - 12 = 6 и точки Н и М лежат по разные стороны прямой АС, поэтому высота треугольника АКС равна (12 - 6)/2 = 3, при этом площадь треугольника АКС равна 6*3/2 =9.
Ответ: 135 или 9.