тригонометрические уравнения с параметром и их решение
Автор Пользователь удален задал вопрос в разделе Образование
помогите решить тригонометрическое уравнение с параметром и получил лучший ответ
Ответ от Tram pampamp[гуру]
1.sin x =0 на промежутке [0,2pi] дает 3 решения 0, pi, 2pi.
Находим число решений a/cosx=2sinx, не совпадающие с первыми.
2. Совпадают только при а=0, при а=0. Получаем снова sin x=0. Т. е. всего 3 решения.
3. При а не равном 0
Sin 2x=a и соs x не равно 0. Но cos x=0 является решением Sin 2x=a только при а=0, а это мы сейчас не рассматриваем.
Т. е. нужно найти количество решений уравнения
Sin y=a на промежутке [0,4 pi].
3.1. При a=1 или a=-1
на промежутке [0,2pi) это уравнение имеет 1 решение, на [0,4 pi] – 2 решения.
3.2. При a < 1, а не равно 0,
на промежутке [0,2pi) это уравнение имеет 2 решения, на [0,4 pi] – 4 решения.
3.3. При a > 1 – нет решений.
Ответ. а=0 или a >1 – 3 решения
а=1 или a=-1 - 5 решений
a <1, а не равно 0 – 7 решений.
P.S. К "Ломоносову" готовитесь? Ну что ж, еще чуть-чуть время есть. Удачи! Спрашивайте еще.
sin 2x=a
a принадлежит от -1 до 1
2x=(-1)^n arcsin a+Pi*n; n принадлежит Z
x=1/2((-1)^n arcsin a+Pi*n;) - 4 корня на Pi
Разве не так? правда тут нужно еще чтобы это влезало в ОДЗ.
Полное решение, точнее полное окончание решения. Имеем: sin(x)=0 или sin(2*x)=a. Первое уравнение дает 3 корня, принадлежащих [0;2*Pi]: x=0, x=Pi, x=2*Pi. Далее действуем путем пристального всматривания на единичную окружность и ее пересечения с прямой y=a, то есть ищем решения второго уравнения. Если |a|>1, то пересечений нет, и уравнение решений не имеет, то есть у нас остается 3 корня. Если |a|=1, то пересечение одно, что добавляет 2 корня (так как 2*x принадлежит [0;4*Pi]). Если 0<|a|<1, то имеем два пересечения с единичной окружностью и это добавляет 4 корня. Случай a=0 выделен, так как в этом случае решения второго уравнения совпадают с решениями первого, так что по прежнему в этом случае 3 корня.