упругая елена

Ответ от Mizara[гуру]
То, что мы сейчас произвели, означает по существу переход от рассмотрения дискретной цепочки атомов, связанных упругими силами, к рассмотрению сплошной нити, в которой распределение масс атомов считается непрерывным. Переход к сплошной среде подразумевает, что мы теперь считаем массы атомов не сосредоточенными в узлах решетки, а «размазанными» на бесконечно малых расстояниях dx, т. е. величина m/dx = r является линейной плотдостью среды. Наконец, выясним физический смысл множителя kdx . Заметим, что жесткость пружины согласно закону Гука F = -kx представляет собой линейную плотность упругой силы. Следовательно, величину kdx = Т можно рассматривать как силу натяжения нити, образованной сплошным линейным распределением атомов. Окончательно, с учетом введенных обозначений, запишем уравнение в виде:
, (3.47)
где смещение теперь зависит от непрерывной переменной x: u = u(x, t).
Полученное уравнение является уравнением распространения упругих волн в одномерной сплошной нити с натяжением Т — струне. Нетрудно сообразить, как должно выглядеть решение уравнения (3.47). Оно должно описывать гармоническое колебание смещения частицы u(t) = u0cos(ωt + a), которое возникает в какой-либо точке струны и затем распространяется с постоянной скоростью vu. Пусть колебание возникло первоначально в точке x=0. Частица, находящаяся на расстоянии x от начала координат, приобретает такое же смещение с опозданием на время, необходимое для того, чтобы колебание пришло в точку x. Таким образом, колебание частицы в точке x отстает по фазе от колебания частицы в точке x = 0, т. е. колебание в произвольной точке струны должно иметь следующий вид:
. (3.48)
Выражение (3.48) является решением уравнения (3.47), описывающим бегущую волну. Подставим его в уравнение (3.47), продифференцировав по отдельности дважды по времени и координате. В результате получим скорость упругой волны:
. (r – линейная плотность среды) (3.49)
Формула (3.49) определяет скорость продольных упругих волн струны.
Колебания смещений атомов в продольной волне происходят в направлении ее распространения — вдоль струны. Как известно, упругая волна может быть и поперечной (рис.) — при этом смещения атомов происходят в направлении, перпендикулярном оси х. Величина, определяющая упругие свойства струны в поперечном направлении, называется сдвиговой жесткостью. Она отличается от продольной жесткости k, которая определяет скорость продольных волн. Нетрудно представить, что уравнение для поперечных упругих волн сохранит вид (3.47), но в выражении для скорости распространения поперечных волн войдет компонента силы натяжения нити в направлении сдвига частиц T '.
Поперечные волны могут возникать только в твердых телах. В жидкостях и газах сопротивление атомов сдвигу отсутствует и поэтому в них распростраияются только продольные упругие волны.
Упругие колебания, воспринимаемые человеческим ухом, обычно называются звуком. Эти колебания лежат в области частот от 16 до 20 000 колебаний в секунду. В широком смысле слова звуком можно называть все упругие колебания в сплошной среде. Оценим скорость звуковых волн в газе частиц. В отличие от одномерной цепочки атомов, рассмотренной выше, трехмерный газ частиц характеризуется давлением P и объемной плотностью rг. Поэтому вместо формулы (3.49) мы получим . Воспользуемся уравнением состояния газа PV = NkБT (где N — число частиц; Т — температура газа; kБ — постоянная Больцмана) . Вводя плотность газа rг=mN/V, где m— масса частицы, находим, что скорость звука в газе частиц оказывается порядка средней скорости теплового движения частиц
.
Это приближенный расчет, но он дает правильную оценку порядка величины скорости звука. Характерные скорости звуковых волн в газах порядка 300 м/с, а в твердых телах ~1000 м/с.

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]