уравнения сводящиеся к квадратным

Ответ от Диляра Зиганшина[мастер]
1. 2sin(2x-П/4)+√2=0
2sin(2x-П/4)= -√2
sin(2x-П/4)= -√2/2
2x-П/4= (-1)^n * arcsin(-√2/2) + Пn, где n принадлежит Z
2x-П/4= (-1)^n * (-П/4) + Пn, где n принадлежит Z
2x-П/4= (-1)^(n+1) * (П/4) + Пn, где n принадлежит Z
2x= (-1)^(n+1) * (П/4)+(П/4) + Пn, где n принадлежит Z
x= (П/8)*((-1)^(n+1) +1) + (Пn)/2, где n принадлежит Z
2.3tg(x/2 + П/6)+√3=0
tg(x/2 + П/6)=-√3/3
x/2 + П/6= arctg(-√3/3) + Пn, где n принадлежит Z
x/2 + П/6=5П/6 +Пn, где n принадлежит Z
x/2=5П/6-П/6+ Пn, где n принадлежит Z
х/2=4П/6+ Пn, где n принадлежит Z
х=4П/3+2Пn, где n принадлежит Z
4.Заменим z=sinx, y= cosx и перенесен все в левую сторону
7*z^2-8*z*y+y^2=0
Выделим полный квадрат. для этого сначала вынести 7 за скобки а потом воспользуемся формулой квадрата разности:
7*(z^2-(8/7)*z*y+(1/7)y^2)= 7*(z^2-2*(4/7*у) *z+(4/7*у) ^2-(4/7*у) ^2+(1/7)y^2)=
=7*((z-(4/7y))^2-16/49*y^2+7/49*y^2)=7*((z-(4/7y))^2-9/49*y^2)
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:
=7*(z-4/7*y-3/7*y)*( z-4/7*y+3/7*y)=7*(z-y)*(z-1/7*y)= внесем 7 во вторую скобку=
= (z-y)*(7*z-y)=0
произведение равно 0 если первая или вторая скобка равны нулю.
(z-y) =0 или 7z-y=0
Возвращаемся к замене и делаем совокупность из 2 уравнений:
sinx-cosx=0
7sinx-cosx=0
первое уравнение делим на √2
второе делим на √50
(1/√2)* sinx - (1/√2)* cosx=0
(7/√50)* sinx -(1/√50) cosx=0
Сворачивает оба уравнения по тригонометрическим формулам сложения углов:
sin(x-П/4)=0
sin(x-f)=0
x-П/4= Пn, где n принадлежит Z
х-f=Пn, где n принадлежит Z
x=П/4+ Пn, где n принадлежит Z
x=f+Пn, где n принадлежит Z
5. По основному тригонометрическому свойству расписываем sin^2
2-2(cosx)^2+5*cosx=4
2(cosx)^2-5*cosx+2=0
находим дискриминант и корни уравнения:
D=25-16=9
cosx1=(5-9)/4=-1
cosx2=(5+9)/4=14/4>1-не подходит так как cosx <=1( меньше или равен)
значит получим единственное решение:
cosx=-1
x=-П+2Пn, где n принадлежит Z
Источник: вот что нашла!!!!