В полукруг радиусом 6 см вписан прямоугольник
Автор Галина Хренкова задал вопрос в разделе Естественные науки
в полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник. чему равна наибольшая площадь треугольника? и получил лучший ответ
Ответ от Ѓдачник[гуру]
Какого треугольника, если вписан прямоугольник? А если все-таки надо найти площадь прямоугольника, тогда надо выразить его стороны a и b через радиус R = 6.
Стороны прямоугольника могут меняться: а от 0 до 2R = 12, b от 0 до R = 6.
Два почти крайних положения показаны синим цветом. Если a = 2R, то b = 0. Если b = R, то a = 0.
Оптимальный прямоугольник ABCD показан красным.
Рассмотрим угол alpha наклона прямой OC. Стороны прямоугольника меняются по закону:
{ cos (alpha) = a/2
{ sin (alpha) = b
Известно, что cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) = 1
Отсюда получаем формулу
(a/2)^2 + b^2 = 1
b = sqrt (1 - a^2/4)
S = ab = a*sqrt (1 - a^2/4) - должна быть максимальной. Решаем через производную, приравненную к 0
S ' = sqrt (1 - a^2/4) + a / [2sqrt (1 - a^2/4)] * (-a/2) = sqrt (1 - a^2/4) - a^2 / sqrt (1 - a^2/4) =
= (1 - a^2/4 - a^2) / sqrt (1 - a^2/4) = (1 - 5a^2/4) / sqrt (1 - a^2/4) = 0
1 - 5a^2/4 = 0
a^2 = 4/5
a = 2*sqrt(5)/5
b = sqrt (1 - a^2/4) = sqrt (1 - 1/5) = sqrt(4/5) = 2*sqrt(5)/5 = a
Ответ: это квадрат со стороной a = 2*sqrt(5)/5
Поскольку сам начертить не могу, воспользуюсь чертежом Удачника. Обозначим высоту СВ прямоугольника Х. Тогда ОВ=sqrt(6^2-X^2), АВ=2*sqrt(6^2-X^2), площадь прямоугольника S=2*X*sqrt(6^2-X^2). Чтобы найти максимум площади, найдем производную и приравняем ее нулю.
S'=2*(X*sqrt(6^2-X^2))'=2*(X'*sqrt(6^2-X^2)+X*(sqrt(6^2-X^2))')=2*(1*sqrt(6^2-X^2)+X*(-2*X)/(2*sqrt(6^2-X^2)))=
=2*(36-X^2-X^2)/sqrt(36-X^2). Производная равна нулю если числитель равен нулю, тогда 2*X^2=36, X=sqrt(18).
Площадь равна 2*sqrt(36-18)*sqrt(18)=2*sqrt(18)*sqrt(18)=36.