тренировочный ким 02103 по математике ответы
Автор Настя Ещенко задал вопрос в разделе Естественные науки
в треугольнике ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причем AD =R. и получил лучший ответ
Ответ от Ѐустам Искендеров[гуру]
Владимиру. "Поскольку АD= R, то сторона АВ должна быть параллельна радиусу ОD". Это, конечно, верно, но требует доказательства. Ибо возможен 4-хугольник АDОЕ, у которого ОD= АD= ОЕ, уг. D= 90о, но тот не квадрат. Нужно доказать, что именно при параллельности АВ к DО соблюдается уг. Е= 90о. Может, я где-то неправ; но решил задачу так. Основание перпендикуляра, опущенного из точки О на АВ, обозначаю через Е и доказываю равенство прямоугольных треугольников АDО (заведомо равнобедренного! ) и АОЕ. А это очевидно: общая гипотенуза, один из катетов одного равен катету другого. Значит, 4-хугольник ADOE - квадрат.. .
Поскольку AD=R, то сторона АВ должна быть параллельна радиусу OD, где О - центр окружности. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, т. е. стороне АС, то и параллельная ему прямая АВ перпендикулярна АС, следовательно угол САВ прямой.
Все просто. Треугольник АОД равнобедренный по условию (AD=OD=R), а еще он прямоугольный, тк радиус перпендикуляр в точке касания. Значит угол OAD 45град Кроме того помним, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Значит и Угол ВАО тоже 45 град и в сумме составляют 90 град, что и нужно док-ть