в треугольнике abc

Ответ от Ѐустам Искендеров[гуру]
В треугольнике ABC угол при вершине A является прямым. Для доказательства рассмотрим центр вписанной окружности, обозначив его буквой O. По свойству касательной, радиус OD, проведенный в точку касания D со стороной AC, перпендикулярен этой стороне. Следовательно, треугольник AOD прямоугольный с прямым углом при вершине D. По условию AD равно R, а радиус OD также равен R. Значит, треугольник AOD является равнобедренным прямоугольным, и его острые углы равны по 45 градусов. В частности, угол OAD равен 45 градусам. Центр вписанной окружности всегда лежит на пересечении биссектрис, поэтому луч AO делит угол CAB пополам. Отсюда следует, что весь угол CAB равен удвоенному углу OAD, то есть 90 градусам. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.