vmax 2

Ответ от Ирина[мастер]
Максимальной скоростью камень будет обладать в момент его броска. Это следует из закона сохранения энергии - общая энергия в течение всего полета остается неизменной. В момент броска вся энергия камня - это его кинетическая энергия. Следовательно, именно в этот момент скорость камня будет максимальной. Эта энергия все более переходит в потенциальную. В конце концов, в наивысшей точке траектории, потенциальная энергия достигнет своего максимума, а кинетическая - минимума. Именно в этой точке скорость полета камня достигнет своего минимума, т. е. станет вдвое меньше его максимальной скорости, которая была у него в момент броска. При этом сам вектор скорости будет направлен параллельно земной поверхности. После этого процесс будет развиваться в обратном направлении, т. е. по мере уменьшения высоты полета потенциальная энергия будет уменьшаться и ровно на столько же будет возрастать кинетическая энергия. В конце концов, в момент падения камня на землю, его потенциальная энергия станет равна нулю, а кинетическая вновь достигнет максимума и станет такой же, какой она была в момент броска. Значит и скорость камня в момент его падения также вновь станет максимальной и равной его скорости в момент броска. В соответствии с вышеизложенным имеем:
(m(Vmax)^2)/2 = (m(Vmin)^2)/2 + mgh = (m(Vmax/2)^2)/2 + mgh;
где: ^2 - операция возведения в квадрат
m - масса камня
g - ускорение свободного падения, равное (примерно) 9,8 м/с^2
отсюда имеем:
(m(Vmax)^2)/2 = (m(Vmax)^2)/8 + mgh;
сокращая m, получим:
(Vmax)^2/2 = (Vmax)^2/8 + gh;
(Vmax)^2/2 - (Vmax)^2/8 = gh;
3(Vmax)^2/8 = gh;
отсюда:
h = 3(Vmax)^2/8g; (1)
Для нахождения дальности полета камня S используем тот факт, что горизонтальная составляющая вектора скорости камня во время всего его полета остается неизменной и равной по величине минимальному значению скорости в наивысшей точке траектории (Vmin), когда вертикальная составляющая вектора скорости равна нулю. Время полета камня от середины траектории (наивысшей ее точки) до момента падения на землю равно времени падения этого камня с нулевой начальной скоростью (вертикальной составляющей) с высоты h на землю. Известно, что для равноускоренного (с ускорением g) падения это время будет равно:
t = (2h/g)^(1/2); где ^(1/2) означает операцию взятия квадратного корня.
В силу симметрии траектории, время (и дальность) от момента броска до достижения наивысшей точки полета равно времени (и дальности) от наивысшей точки до точки падения на землю.
Тогда половина дальности полета S/2 составит:
S/2 = Vmin*t = (Vmax/2)*t = (Vmax/2)*(2h/g)^(1/2): тогда полная дальность:
S = (Vmax)*(2h/g)^(1/2);
Подставляя в последнее выражение найденное значение для h из (1), получим:
S = (Vmax)*(2(3(Vmax)^2/8g)/g)^(1/2) = (Vmax)*(3(Vmax)^2/4g/g)^(1/2) = (Vmax)*(3(Vmax)^2/4g^2)^(1/2);
Внесем первый множитель Vmax под знак корня (^(1/2)). Получим:
S = (3(Vmax)^4/4g^2)^(1/2); (2)
Итак, получили:
h = 3(Vmax)^2/8g; (1)
S = (3(Vmax)^4/4g^2)^(1/2); (2)
После подстановки размерностей входящих в обе формулы величин, убеждаемся, что h и S имеют размерность метра. Подставляя значения Vmax =9,8 м/с и g = 9,8 м/с^2, получим:
h = 3*(9,8^2)/(8*9,8) = 3*9,8/8 = 3,675 м
S = (3*(9,8^4)/(4*9,8^2))^(1/2) = (3*(9,8^2)/4)^(1/2) = 8,487 м (с округлением до трех знаков)