вписанная в прямоугольный треугольник окружность

Ответ от Николай Тактаров[гуру]
Будем биться, брат. Рисуй за мной, думай со мной, решай быстрее меня. 1). Треугольник АВС. А - прямой угол. 2). Вписываем в него окружность с центром О. 3). Строим отрезок АО. По условию АО = 2*sqrt2 4). Строим ОК перпендикулярно АС (на всякий случай. Авось, пригодится) . 5). ОМ перпендикулярно ВС 6). ОР перпендикулярно АВ 7). Треугольники АКО и АРО. Прямоугольные, гипотенуза одна, катеты КО = РО. Равные, короче, треугольники. И углы при точке А у них одинаковы и равны, соответственно 90 / 2 = 45 градусов. Не только прямоугольные, но ещё и равнобедренные, треугольники-то наши! 8). Рассмотрим треугольник АКО. Прямоугольный, равнобедренный. АО= 2*sqrt2 (по условию, АК=R). 9). По формуле АС^2 = АК^2 + КО^2 получаем: 10). (2*sqrt2)^2 =R^2+R^2; 11). 4*2=2*R^2; R=2! 12). Треугольник АВС. Угол А - прямой, стало быть, угол В + угол С = 90 градусов. 13). Соединим точку О с А и В. Имеем два треугольника ОМВ и ОМС. Прямоугольные. 14). Кроме того, угол ОВМ + угол ОСМ =45 градусам (как половинные от углов В и С в пункте 12).) 15). Имеем ВМ = 2 части (чего-то там, сантиметров, пар метров и прочее. Будем считать в попугаях) . ВМ = 2 попугая. 16). СМ = 3 попугая. 17). Далее через тангенсы. Разумеешь такое, брат? Я подзабыл, подсказывай! 18). Из треугольника ОМБ получаем: ОМ / 2 попугая = тангенс ( угла ОВМ) 19). Из треугольника ОМС получаем ОМ / 3 попугая = тангенс ( угла ОСМ) = тангенс ( 45 градусов - угол ОВМ) 20). Из всего вышесказанного получаем: 2*tg(ОВМ) = 3*tg(45-ОВМ) ; tg(ОВМ) =1,5tg(45-ОВМ) . Попугаи улетели, оставили коэффициент 1,5. 21). Имеем формулу: "Тангенс разности двух углов равен разности тангенсов этих углов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих углов". В книжках написано. В Википедии нашёл. 22). Разберёмся с выражением tg(45-ОВМ) . tg(45-ОВМ) =(tg(45)-tg(ОВМ)) / (1+tg(45) * tg(ОВМ) ) = 23). tg(45)=1. А посему, продолжаем: = (1-tg(ОВМ) ) / (1+1*tg(ОВМ)) =(1-tg(ОВМ)) /(1+tg(ОВМ) ) из 20) и 23) получаем: 24). tg(ОВМ) =1.5 * (1-tg(ОВМ)) /(1+tg(ОВМ) ) 25). tg(ОВМ) *(1+tg(ОВМ) ) =1,5 * (1-tg(ОВМ) . tg(ОВМ) для простоты дальнейших вычислений обозначим за Х 26). Х+Х^2=1,5-1,5Х; Х^2 + 2,5Х -1,5=0; Таки упёрлись. То в тангенсы, то в квадратные уравнения. 27). Х1=0,5; Х2=-3; Отрицательная величина нас не устраивает, поэтому берём за основу дальнейших вычислений Х=tg(ОВМ) =0,5 28). tg(ОВМ) = R/ (2 попугая) . (из 18)) 29). Откуда 1 попугай = R/(2*tg(ОВМ) ) =2/(2*0,5)=2. 30). Тогда отрезок ВМ = 2 * 2 = 4; Отрезок СМ = 3 * 2 = 6 31). Рассматриваем треугольники СОМ и СОК. Прямоугольные, одна сторона общая, катеты равны. Откуда: 32). СК = СМ = 6; 33). В треугольнике АВС сторона АС = АК+ КС = R + КС = 2+6=8 31). Рассматриваем треугольники ВОМ и ВОР. 32). Мы не соединяли точку О с точкой В? Соединим! И перпендикуляр ОР на сторону АВ опустим! 33). Треугольники прямоугольные, одна сторона общая, катеты равны. Откуда: 34). ВР = ВМ = 4; 35). В треугольнике АВС сторона АВ = АР+ ВР = R + ВР = 2+4=6 35). В треугольнике АВС имеем длины двух катетов, по которым находим площадь треугольника АВС. 36). S АВС =АВ * АС / 2 = 6*8/2=24. Во как! Желаю Успеха!