Объём тел вращения через интеграл
Автор Жанна Смит задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. и получил лучший ответ
Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Сначала общее соображение: если известна площадь всякого сечения тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, то объём тела равен интегралу вдоль отрезка этой оси между крайними сечениями тела.
Как частный случай, объём тела вращения получается, если вспомнить формулу для площади круга S=pi*R^2..
Например, если вращение фигуры, заданной на плоскости границами х=а, х=b, у=0, у=у (х) , происходит вокруг оси ОХ, то упомянутые секущие плоскости перпендикулярны к оси ОХ, и при каждом х между а и b, площадь круга будет равна pi*y(x)^2. Значит, объём тела вращения равен:
V=pi* integral [a; b] y(x)^2 dx.
Аналогично вычисляется объём при вращении фигуры вокруг оси ОУ.
Советую привести примеры вычисления таких объёмов, в частности, знаменитая задача Б. Паскаля про объём винной бочки.
В книжках советую посмотреть, от нета пользы мало.