вычислить объемы тел по поперечному сечению

Ответ от Artem Klementiev[гуру]
V = Двойный интеграл по области пересечения z(x, y) и 0
от z(x, y)
Найдем область
2-x^2-5y^2=0
x^2+5y^2= 2
y = +-(2-x^2)^0.5/5^0.5 = f(x)
V= Int [-2^0.5, 2^0.5]dx Int[-f(x), f(x)] 2-x^2-5*y^2 dy
Int [-2^0.5, 2^0.5]dx (2-x^2)y - 5y^3/3 | -f(x); f(x) =
Int [-2^0.5, 2^0.5]dx 2 [(2 -x^2)(2-x^2)^0.5/5^0.5 - 1/[3*5^0.5] (2-x^2)^1.5]=
Int [-2^0.5, 2^0.5]dx 2 (2-x^2)^1.5(2/3 * 1/5^0.5)=
Int [-2^0.5, 2^0.5]dx 4/[3*5^0.5] (...) =
4/[3*5^0.5] Int(...) | [-2^0.5, 2^0.5]=
{
Int (2-x^2)^1.5 dx = A = x(2-x^2)^1.5+ 3 * Int [2-x^2]^0.5 x^2 dx
Int (2-x^2)^0.5 x^2dx = Int [(2-x^2)^0.5(x^2-2)+ 2(2-x^2)^0.5 ]dx=
-A + Int2(2-x^2)^0.5dx =
-A+ x (2-x^2)^0.5+2Arcsin(x/2^0.5)
A = 1/4 [x(2-x^2)^1.5 + 3 x (2-x^2)^0.5+6Arcsin(x/2^0.5)]
}
= 4/[3*5^0.5] Int A | [-2^0.5, 2^0.5] =
2/[3*5^0.5] 6 pi/2 = 2/5^0.5 pi

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]