высоты треугольников

Ответ от целый миллион[гуру]
http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F%3ASearch&search=%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0++%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BE%D1%82+%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2&go=%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8
[править]Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартные обозначенияУ этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения).
Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α,β,γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
Содержание [убрать]
1 Неравенство треугольника
2 Признаки равенства треугольников
3 Отрезки и окружности, связанные с треугольником
4 Соотношения в треугольнике
4.1 Теорема синусов
4.2 Теорема косинусов
4.3 Теорема о сумме углов треугольника
4.4 Прочие соотношения
5 Площадь треугольника
5.1 Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
6 Типы треугольников
6.1 По величине углов
6.2 По числу равных сторон
7 См. также
[править] Неравенство треугольника
Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами. В треугольнике сумма двух его сторон должна быть больше третьей стороны, в ином случае треугольник называется вырожденным.
a < b + c
b < c + a
c < a + b
В случае невыполнения одного из неравенств, треугольник называется вырожденным, далее везде предполагается невырожденный случай.
[править] Признаки равенства треугольников
Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:
a, b, c (равенство по трём сторонам);
a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам).
[править] Отрезки и окружности, связанные с треугольником
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью. Она единственна. Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Описанная окружность также единственна.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение, называется высотой треугольника. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.
Как было сказано, в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
Серединные перпендикуляры к