зависимость периода колебаний от амплитуды

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Интересная задача.
Пусть m - масса муфты, k - жесткость пружины,
L - длина недеформированной пружины, w - угловая
скорость вращения, R - радиус вращения при
отсутствии колебаний (т. е. в состоянии равновесия) , x - смещение муфты от положения равновесия при её
колебаниях вдоль стержня. Величина определяется из равенства центробежной силы и силы упругости
пружины:
mRw^2=k(R-L), отсюда R=kL/(k-mw^2). Видно, что с
ростом угловой скорости радиус возрастает, и если
вращение достаточно быстрое, то радиус стремится
к бесконечности - муфта летит прочь.
Дифференциальное уравнение колебаний:
mx''+kx-mw^2(R+x)=0, или x''+(k/m-w^2)x=Rw^2.
Общее решение:
x=Acos(t*koren(k/m-w^2))+Rw^2/(k/m-w^2)=
=Acos(t*koren(k/m-w^2))+mw^2*kL/(k-mw^2)^2.
Здесь период T=2pi/koren(k/m-w^2).
Видно, что от амплитуды колебаний период не
зависит, а зависит он от УГЛОВОЙ СКОРОСТИ:
при w=0, период колебаний такой же, как у
невращающейся муфты (как, разумеется, и
должно быть) , а при увеличении угловой скорости
период увеличивается, и даже стремится к
бесконечности при стремлении угловой скорости
к критическому значению, равному koren(k/m).