метод жордана гаусса

Ответ от Николай 578[гуру]
Метод Гаусса — Жордана
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(Перенаправлено с Метод Жордана-Гаусса)
Метод Гаусса — Жордана используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.
Алгоритм
Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
Пример
Решим следующую систему уравнений:
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 1
9a + 3b + c = 3
Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:
Проведём следующие действия:
К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.
К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.
Получим:
К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.
Строку 2 делим на -2
К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.
К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.
К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.
В правом столбце получаем решение:
.
Ссылки
Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python