теорема сосницкого

Ответ от
Не знаю, что за теорема, но решение нашлось на Яндексе первой ссылкой. Может, разберетесь.
Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4·(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2–4)ab + (b2–4)ac + (a2–4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.
Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4
Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2–4)–3с–3с=0
c2–6с–4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.
Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2–4)–6с=0
c2–3c–4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4
Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4·(1+1/b+1/c)/3
Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.
ОТВЕТ:
(2,2,2) и (1,2,4)