x 2 y 2 y 2xy

Ответ от Artem Klementiev[гуру]
x^2y`+y^2-2xy=0
y' - 2/x y = -1/x^2 y^2
Это уравнение Бернулли.. .
Сделаем стандартную подстановку
z = y^[1-n] = y^[-1]
y = 1/z
dy/dx = - 1/z^2 dz/dx
-1/z^2 z' - 2/[xz] = - 1/[x^2 z^2]
z' + 2 z /x = 1/x^2
Это линейное уравнение первого порядка... Будем его решать методом вариации постоянной.. .
z' + 2 z/x = 0
dz/dx = - 2 z/x
dz/z = -2dx/x
ln|z| = -2 ln|x| + ln |C|
|z| = |C|/x^2
z = C/x^2
z = C(x)/x^2
dz/dx = [C'(x)x^2- 2C(x)x]/x^4
[C'(x)x^2- 2C(x)x]/x^4 + 2C(x)/x^3 = 1/x^2
C'(x)/x^2 = 1/x^2
C'(x) = 1
C(x) = x + K
z = (x + K)/x^2 = 1/x + K/x^2
y = 1/z = x^2/(x + K)