алгоритм евклида для многочленов

Ответ от Владимир Брест[гуру]
Здравствуйте, Алексей Медведев !
Вспомним сначала о разложении многочлена на простые множители !
-Это значит нужно приравнять данные многочлены к нулю .
-Вспомнить условие : если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена !
-То есть : x^6+2*x^4-4*x^3-3*x^2+8*x-5 = 0 и x^5+x^2-x+1 = 0
-Корни первого уравнения ищем для : -5 , -1, 1, 5 а второго для - 1 и 1!
- Подставляя эти значения в соответствующие уравнения мы увидим, что ни одно из них для данных чисел не обращает данное выражение в нуль . На что это указывает? Это значит, что данные уравнения не имеют целых корней !
Поэтому данные многочлены нельзя представить в виде множителей содержащих целые числа и как результат :
ДАННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЕ ИМЕЮТ ОБЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ !
Многочлен x^5+x^2-x+1можно представить в виде :
x^5+x^2-x+1 = ( x ^ 5 - x ) + ( x ^ 2 + 1 ) = x ( x ^ 4 - 1 ) + ( x ^ 2 + 1 ) =
= x ( x ^ 2 - 1 )( x ^ 2 + 1 ) + ( x ^ 2 + 1 ) = ( x ^ 2 + 1 ) ( x ( x ^ 2 - 1 ) + 1 =
= ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 3 - x + 1 ) то есть
x^5+x^2-x+1 = ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 3 - x + 1 )
- При попытке деления первого многочлена x^6+2*x^4-4*x^3-3*x^2+8*x-5 на x ^ 2 + 1 или x ^ 3 - x + 1
прийдём к выводу, что
x^6+2*x^4-4*x^3-3*x^2+8*x-5 = ( x ^ 3 - x + 1 ) * ( x ^ 3 + 3*x -5 )
значит он разлагается на множители !
А это указывает на то, что данные многочлены имеют НОД и он равен x ^ 3 - x + 1 !
С массой наилучших пожеланий и счастья в личной жизни !