априорная вероятность

Ответ от Александр Титов[гуру]
Априорная - доопытная. То есть мы предполагаем о результатах некоторого эксперимента, судим о вероятности тех или иных событий, не зная результатов эксперимента, до его проведения.
Апостериорная - послеопытная. То есть после того, как мы провели эксперимент, ситуация более менее прояснилась, изменились вероятности тех или иных событий, была получена новая информация, исходя из которой мы можем судить о результатах эксперимента более чётко.
Классический пример - формула полной вероятности. Здесь мы догадываемся о результате какого-либо события, имея на руках лишь вероятности тех или иных факторов, способствующих данному событию. То есть, априорных факторов.
Также справедлива формула Байеса. Она позволяет менять местами причину со следствием и перерасчитывать вероятности факторов, становящихся уже апостериорными.
Пример. Известно, что вероятность того. что студент на экзамене попадёт к первому преподавателю, равна 0,6, ко второму - 0,3, к третьему 0,1. Вероятность получить "отлично" у первого преподавателя равна 0,2, у второго - 0,4, у третьего 0,6. Найти вероятность того, что студент получит "отлично" на экзамене.
Исследуем пример. Во-первых, обратим внимание, что события, состоящие в том, что студент попадёт к первому, второму и третьему преподавателям соответственно, являются взаимоисключающими (т. е. студент не может попасть сразу к двум преподавателям) , а также образующими полную группу событий, (т. е. , студент обязательно попадёт хотя бы к одному из преподавателей) . Также какими-то способами стала известна вероятность получить пятёрку у каждого преподавателя. Во-первых, мы не знаем, к какому именно преподавателю попадёт студент, а во-вторых - не знаем, получит ли он 5, если попадёт к кому-нибудь из них. Всё это - априорные сведения. Исходя из них, мы оцениваем возможность получения пятёрки вообще. Делаем это по формуле полной вероятности. . Нам известны условные вероятности - вероятности получения студентом пятёрки, при условии, что он попадёт к 1-му, 2-му и 3-му преподавателям соответственно, а также вероятности наступления этих условий. Полная вероятность рассчитывается как сумма произведений условных вероятностей на вероятности соответствующих условий, т. е. в данном случае она равна 0,2*0,6 + 0,4*0,3 + 0,6*0,1 = 0.12 + 0,12 + 0,06 = 0,3. Это и есть вероятность получения студентом пятёрки, если он попадёт к случайному, неизвестному заранее преподавателю.
Рассмотрим теперь апостериорные вероятности. Пример. По результатам экзамена (см. предыдущий пример) , стало известно, что студент получил оценку "отлично". Найти вероятность того, что студент побывал:
а) у первого преродавателя
б) у второго преподавателя
в) у третьего преподавателя
То есть здесь, зная конкретный результат эксперимента, мы перерасчиываем вероятности беседы студента с конкретным преподавателем, находим апостериорные вероятности. Делаем это по формуле Байеса. Она говорит о том, что апостериорная вероятность гипотезы (в данном случае, вероятность того, что студент побывал у, скажем, 1-го преподавателя) равна априорной вероятности той же гипотезы (вероятности того, что студент до экзамена попадёт к 1-му преподавателю) , умноженной на вероятность события (получения пятёрки у данного преподавателя) , делённой на полную вероятность (вероятность получения пятёрки у случайного преподавателя, см. предыдущий пример) .
То есть в этом случае соответствующие вероятности равны
а) Р = 0,6*0,2/0,3 = 0,4
б) Р = 0,3*0,4/0,3 = 0,4
в) Р = 0,1*0,6/0,3 = 0,2
То есть апостериорные вероятности (послеопытные) в этом случае равны - вероятность того, что студент после экзамена, получив 5, побывал у 1-го преподавателя равна 40%, у второго - 40% и у третьего - 20%
Априорные же вероятности (доопытные) равны - вероятность того, что студент до экзамена попадёт к 1-му преподавателю равна 60%, ко 2-му - 30% и к 3-му - 10%.
Вот, что такое априорные и апостериорные вероятности событий. Думаю, что всё понятно.