асимптоты

Ответ от Василий берген[гуру]
Асимптота — Асимптота (от греч. asymptotos - несовпадающий) кривой с бесконечной ветвью, ..БСЭ
* Асимптота — АСИМПТОТА [asymptote] - прямая, к которой стремится (нико
гда не достигая ее) ...Лопатников
Асимпто́та кривой (в частности графика функции) , имеющей бесконечную ветвь — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки ветви кривой до этой прямой стремится к нулю при движении её вдоль неё к бесконечности.
Асимптоты графиков
[править] Горизонтальная
График y = (x2 + 3) / (3x2 + 1) с горизонтальной асимптотой y = 1 / 3
Горизонтальная асимптота — прямая вида ~y = a при условии существования предела
lim_{x o infty}f(x)=a.
[править] Вертикальная
График y = 1 / (x − 1) c вертикальной асимптотой x = 1
Вертикальная асимптота — прямая вида ~x = a при условии существования предела
lim_{x o a pm 0}f(x)= infty.
[править] Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида ~y=kx+b при условии существования пределов
lim_{x o infty}frac{f(x)}{x}=k
и
lim_{x o infty}(f(x)-kx)=b
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция ~f(x)=frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}.
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: ~f(x)=2x+5+ frac{-2x-4}{x^2+1}.
При ~ x o infty, frac{-2x-4}{x^2+1} o 0, то есть
lim_{x o infty}f(x)-2x+5=0,
и y = 2x + 5 является искомым уравнением асимптоты.
[править] Свойства
* Если вдоль бесконечной ветви кривой существует предельное положение касательной, то оно совпадает с асимптотой. Обратное не всегда верно. Например, кривая y= frac{1}{x} sin x имеет при x o infty асимптоту y = 0, хотя предельного положения касательной не существует.
* Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы.