Автор Mapkofb задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Как доказать, что 6abc <= ab(a+b) + bc (b+c) +ca (c+a)? и получил лучший ответ
Ответ от GREY_ANGEL[гуру]
Попробуем доказать, mapkofb...))
Известно неравенство, в котором среднее арифметическое больше либо равно среднему геометрическому:
(a + b)/2 >= sqrt(ab) (1) где: sqrt - корень квадратный;
Это неравенство распространяется не только на две алгебраические величины а и b, как показано выше, но и на большее число алгебраических величин, применительно к нашему примеру - к трём: a, b, c.
(a + b + c)/3 >= sqr(abc) (2) где: sqr - корень кубический.
Возведём в куб обе части неравенства (2):
[(a + b + c)^3]/27 >= abc или:
(a + b + c)^3 >= 27abc (3)
Распишем левую часть неравенства:
(a + b + c)*(a + b + c)*(a + b + c) >= 27abc
(a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac) >= 27abc
a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 + 6abc >= 27abc (4)
Рассмотрим следующее неравенство:
(a^3 + b^3 + c^3)/3 >= abc (5)
Оно верно и выполняется при любых действительных a, b, c как среднее арифметическое объёмов кубов a^3, b^3, c^3 (с рёбрами, равными сторонам a, b, c - прямоугольного параллепипеда) , большее или равное объёму abc прямоуг. параллепипеда.
Преобразуем (5):
a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc (6)
Вычтем соответственно из левой и правой частей неравенства (4) левую и правую части неравенства (6):
3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 + 6abc >= 24abc
Приведём подобные члены:
3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 >= 18abc
Вынесем 3 за скобки:
3(a^2*b + ab^2 + b^2*c + bc^2 + c^2*a + ca^2) >= 18abc
Сократим на 3:
a^2*b + ab^2 + b^2*c + bc^2 + c^2*a + ca^2 >= 6abc
Сгруппируем попарно:
ab(a+ b) + bc(b + c) + ca(c + a) >= 6abc
Что и требовалось доказать...)) )
Пожалуйста, mapkofb !
Никак =))
Помогите решить))Пусть a,b,c-различные вещественные числа
(x-a)(x-b) = x*x - ax - bx + ab
(x-a)(x-c) = x*x - ax - cx + ac
(x-b)(x-c) = x*x - bx -
подробнее...
Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 19 сумма цифр которого на 1 больше их произведения. Ответ: 3211
Можно совершенно иначе.
0) Единственное рассуждение уважаемого Гуру, которое нам
подробнее...
Слон против ладьи и проходной пешки
Во решил:
1. С е5 Кр h3
2. C b2! Л а5
3. С е5! Л a2
4. С b2....
Максим
подробнее...
Ascii коды
ASCII (англ. American Standard Code for Information Interchange — американский стандартный код для
подробнее...
Теорема косинусов
Теорема косинусов
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
подробнее...
в треугольнике АВС угол С равен 90градус АВ =20 АС =16 найдите sin A?? помогите решить
cosA=AC/AB=16/20=4/5
sinA=±sgrt(1-cos^2(A))=±sgrt(1-16/25)=±3/5,
<A i <B
подробнее...
Поскажите! Какая пила лучше электропила или бензопила
электра пила используется на малых расстояниях! Бензо пила на больших!!!! в принципе для дров и
подробнее...
аналог транзистора. какой аналог транзистора Tesla KD 502
Предыдущий ответчик налепил до кучи и диоды и оптопары, микросхемы наверно, чтобы голосующие
подробнее...
подскажите как начать правильно питаться ( чтобы похудеть )из чего должен состоять завтрак, обед и ужин?
Не знаю как правильно, расскажу как я делал (-20 кг месяца за 2,5):
сначала отказываешься от
подробнее...
Помогите! Как найти множество значений функции y= x2 + 3x - 5
санчала найти производную, а потом приравнять к
подробнее...
Цифровое телевидение через приставку или стандарт DVB-C. За какой технологией будущие?
Будущее за множеством технологий. Но. Как устарел DVB-T и DVB-S, так и устарел DVB-C
Вместо
подробнее...
Как запустить Borland C++ на Windows 7 ?
Александр lsd: x64 н-р работать не будет....и это факт.
Для ленивых Borland C++ +DOSBox
подробнее...
В треугольнике ABC угол C равен90 , CH — высота, ,BC=25 BH=20 . Найдите .cos A
Треугольники ABC и CBH подобны (по трем углам: один общий, один - прямой) , значит cos A = AC/AB =
подробнее...