cos6x cos8x 1 cos2x

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
cos(2x) + cos(6x) − cos(8x) = 1
cos(2x) + cos(6x) = 1 + cos(8x)
1) левая часть — по формуле суммы косинусов:
cos(2x) + cos(6x) = 2cos(4x)cos(2x)
2) правая часть — по формуле двойного угла:
1 + cos(8x) = 2cos²(4x)
3) Итак, получаем уравнение
2cos(4x)cos(2x) = 2cos²(4x)
cos(4x)•(cos(2x)−cos(4x)) = 0
4) По формуле разности косинусов,
cos(2x) − cos(4x) = 2sin(3x)sin x
5) итак, окончательно получаем:
cos(4x) • sin x • sin(3x) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Рассматриваем все три варианта:
а) cos(4x) = 0 ⇔ 4x = π/2 + kπ, k∈Z
x = (2k+1)π/8
б) sin x = 0 ⇔ x = nπ, n∈Z
в) но если sin x = 0 (т. е. x = nπ), то sin(3x) = sin(3nπ) = 0 автоматически ⇒ пункт б лишний (входит в число решений п. в) :
sin(3x) = 0, 3x = mπ, x = mπ/3, m∈Z
Рассмотрим случаи возможного пересечения решений пп. а) и в)
(2k+1)π/8 = mπ/3
3(2k+1) = 8m
2(3k+1) + 1 = 2•4m
Слева стоит нечётное число, а справа чётное ⇒ решений нет, т. е. пп. а) и в) не gthtctrf.ncz
⇒ в п. в) можно переобозначить m→k и записать общий
ОТВЕТ: x ∈ {(2k+1)π/8, kπ/3}, k∈Z