движение по окружности

Ответ от Ann Levkutina[активный]
Kинематика равномерного вращения по окружности
При движении по окружности с постоянной по величине линейной скоростью v тело испытывает направленное к центру окружности постоянное центростремительное ускорение
aц = v2/R,
где R - радиус окружности.
Вывод формулы для центростремительного ускорения
По определению
На рисунке треугольники, образованные векторами перемещений и скоростей, подобны. Учитывая, что |r1| = |r2| = R и |v1| = |v2| = v, из подобия треугольников находим:
откуда
Поместим начало координат в центр окружности и выберем плоскость, в которой лежит окружность, за плоскость (x, y). Положение точки на окружности в любой момент времени однозначно определяется полярным углом j, измеряемым в радианах (рад) , причем
x = R cos(j + j0), y = R sin(j + j0),
где j0 определяет начальную фазу (начальное положение точки на окружности в нулевой момент времени) .
В случае равномерного вращения угол j, измеряемый в радианах, линейно растет со временем:
j = wt,
где w называется циклической (круговой) частотой. Размерность циклической частоты: [w] = c-1 = Гц.
Циклическая частота равна величине угла поворота (измеренном в рад) за единицу времени, так что иначе ее называют угловой скоростью.
Зависимость координат точки на окружности от времени в случае равномерного вращения с заданной частотой можно записать в виде:
x = R cos(wt + j0),
y = R sin(wt + j0).
Время, за которое совершается один оборот, называется периодом T.
Частота
n = 1/T.
Размерность частоты: [n] = с-1 = Гц.
Связь циклической частоты с периодом и частотой: 2p = wT, откуда
w = 2p/T = 2pn.
Связь линейной скорости и угловой скорости находится из равенства: 2pR = vT, откуда
v = 2pR/T = wR.
Выражение для центростремительного ускорения можно записать разными способами, используя связи между скоростью, частотой и периодом:
aц = v2/R = w2R = 4p2n2R = 4p2R/T2.
Связь поступательного и вращательного движений
Основные кинематические характеристики движения по прямой с постоянным ускорением: перемещение s, скорость v и ускорение a. Соответствующие характеристики при движении по окружности радиусом R: угловое перемещение j, угловая скорость w и угловое ускорение a (в случае, если тело вращается с переменной скоростью) . Из геометрических соображений вытекают следующие связи между этими характеристиками:
перемещение sугловое перемещение j = s/R;
скорость vугловая скорость w = v/R;
ускорение aугловое ускорение a = a/R.
Все формулы кинематики равноускоренного движения по прямой могут быть превращены в формулы кинематики вращения по окружности, если сделать указанные замены. Например:
s = vtj = wt,
v = v0 + atw = w0 + at.
Связь между линейной и угловой скоростями точки при вращении по окружности можно записать в векторной форме. Действительно, пусть окружность с центром в начале координат расположена в плоскости (x, y). В любой момент времени вектор R, проведенный из начала координат в точку на окружности, где находится тело, перпендикулярен вектору скорости тела v, направленному по касательной к окружности в этой точке. Определим вектор w, который по модулю равен угловой скорости w и направлен вдоль оси вращения в сторону, которая определяется правилом правого винта: если завинчивать винт так, чтобы направление его вращения совпадало с направлением вращения точки по окружности, то направление движения винта показывает направление вектора w. Тогда связь трех взаимно перпендикулярных векторов R, v и w можно записать с помощью векторного произведения векторов:
v = wR.