give up on

Ответ от Елена Хлопенко[гуру]
Если говорить именно об этой фразе to give up (on) TRYING, то существенной разницы нет, они очень близки в семантическом плане. Обе означают "оставить попытки", "перестать пробовать, пытаться, стараться".
Та, что с предлогом ON предполагает как бы бОльшее разочарование, отчаяние.
Перестал пытаться, так как понял, что из этого ничего не выйдет. Отчаялся чего-либо достичь. Перестал пробовать (или стараться) , так как потерял надежду на успех.
to give UP ON - stop having faith or belief in - потерять веру (и надежду) на что-то
If you give up on something or someone, you decide that you will never succeed in doing what you want to with them, and you stop trying to.
He urged them not to give up on peace efforts...
My teachers gave up on me.
She gave up on him, he'll never stop drinking — Она махнула на него рукой, так как он никогда не бросит пить
I give up on you: you'll never learn how to behave — Я уже отчаялся, что ты когда-нибудь научишься вести себя
give up trying - просто бросил предпринимать попытки. Но причина может быть любая - устал, надоело, нехватка времени.
У give up doing smth. гораздо больше значений (оттенков значений) , чем у give up on.
gine up - if you give up something, you stop doing it or having it.
1) отказаться; бросить (что-л. )
It's hard to give up the drinking habit without help. — Трудно бросить пить без посторонней помощи.
2) сдаться, отказаться от дальнейших попыток
Don't give up without even trying. — Не сдавайся, даже не попробовав.
3) отказаться (от кого-л. ) , поставить крест (на ком-л. )
He is given up by the doctors. — Врачи от него отказались.
4) сдать, уступить (что-л. кому-л. )
We had to give up the castle to the enemy. — Нам пришлось сдать крепость неприятелю.
5) (give up to) посвятить, предаться (чему-л. )
The forenoons were given up to business. — Время до полудня было посвящено делам.
6) раскрывать, обнародовать, выдавать We do not give up the names of our contributors. — Мы не раскрываем имена наших спонсоров.
7) бросить (кого-л. ) The woman gave up her lover to save her marriage. — Женщина порвала с любовником ради сохранения брака.
8) перестать ждать (кого-л. )
9) перестать верить (в кого-л. ) , разочароваться (в ком-л. )
They were alive, but they had given up on themselves and on the possibility of a future. (A. West) — Они были живы, но потеряли веру в себя и в свое будущее.