грани вектор

Ответ от Неизвестно[эксперт]
Задана пирамида с вершинами A(4, 4, 10), B(4, 10, 2), C(2, 8, 4), D(9, 6, 4)
1. Нахождение длин ребер
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}={0, 6, -8}
Длина ребра АВ=10
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={-2, -2, 2}
Длина ребра ВC=3.4641016151377544
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}={-2, 4, -6}
Длина ребра АC=7.483314773547883
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}={5, 2, -6}
Длина ребра АD=8.06225774829855
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={5, -4, 2}
Длина ребра BD=6.708203932499369
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={7, -2, 0}
Длина ребра CD=7.280109889280518
2. Площади граней
Площадь грани АВС может быть найдена как половина площади параллелограмма построенного на векторах АВ и АС.
Площадь этого параллеграмма равна модулю векторного произведения векторов АВ и АС
[AB{x1, y1, z1} ; AC(x2, y2, z2}]= {a1, a2, a3}, где a1, a2, a3 вычисляются по формулам:
a1=y1*z2-y2*z1; a2=x1*z2-x2*z1; a3=x1*y2-y1*x2;
Получаем: [AB ; AC]={-4, 16, 12}
Площадь грани АВС = 10.198039027185569
Аналогично:
Площадь грани АВD = 26.92582403567252
Площадь грани АСD = 24.919871588754223
Площадь грани BCD = 11.575836902790225
3. Объем пирамиды
Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллелепипеда, построенного на гранях АВ, АС и АD и поделить его на 6
Объем этого параллелепипеда равен модулю векторного произведения вектров AB, AC и AD
(AB{x1, y1, z1} ; AC(x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3*a1+y3*a2+z3*a3
Объем пирамиды равен: 10
4. Длины высот пирамиды
Чтобы найти длину высоты, опущенной, допустим, на грань АВС, надо использовать формулу объема пирамиды, известную из геометрии: V=1/3*Sосн*H
В этой формуле нам известны и объем и площадь соответствующей грани. Высота может быть расчитана по формуле: H=3V/Sосн
Высота, опущенная на грань ABC равна: 2.9417420270727606
Высота, опущенная на грань ABD равна: 1.1141720290623112
Высота, опущенная на грань ACD равна: 1.2038585308576921
Высота, опущенная на грань BCD равна: 2.5916052767440805
5. Угол между ребрами BD и BC
Угол между ребрами ищется как угол между соответствующими векторами - с использованием скалярного произведения.
BC{x4, y4, z4}*BD{x5, y5, z5}=x4*x5+y4*y5+z4*z5=BC*BD*cos(alfa)
Получаем: 2=23.2379000772445cos(alfa)
Откуда: cos(alfa)=0.08606629658238704
Угол между BD и BC равен 85.06265611930155 градусов
sin(BD,BC)=0.9962894120648842
Аналогично:
Угол между AB и AC равен 15.816304848217017 градусов; sin(AB,AC)=0.27255405754769885
Угол между AB и AD равен 41.90884788180326 градусов; sin(AB,AD)=0.6679474875720741
6. Угол между ребром AD и гранью ABC
Угол между ребром гранью будет равен 90 градусов минус угол между гранью и нормалью к плоскости.
Нормаль к плоскости ABC уже была найдена в пункте 2 как векторное произведение
[AB ; AC]={a1, a2, a3}
[AB ; AC]={-4, 16, 12}
Используя скалярное произведение, получаем:
AD{5, 2, -6}*N{-4, 16, 12}=AD*N*cos(beta)
Получаем: -60=164.4384383287557cos(beta)
Откуда: cos(beta)=-0.36487819155789
Угол между ребром AD и гранью ABC равен 21.400086598252045 градусов, синус этого угла равен 0.36487819155789
7. Угол между гранями BDC и ABC
Угол между гранями равен углу между нормалями к этим граням
Нормаль к грани ABC уже найдена: N={-4, 16, 12}
Нормаль к грани BDC ищется как векторное произведение вектров BD и BC
[BD{x4, y4, z4} ; BC{x5, y5, z5}] = {n1, n2, n3}
n1=y4*z5-y5*z4; n2=-x4*z5+x5*z4; n3=x4*y5-y4*x5
[BD ; BC] = {4, 14, 18}
Используя скалярное произведение, получаем:
N{-4, 16, 12}*N2{4, 14, 18}=N*N1*cos(gamma)
Получаем: 424=472.20334602795856cos(gamma)
Откуда: cos(gamma)=0.8979182455324989
Угол между гранями BDC и ABC равен 26.11423508774124 градусов, синус этого угла равен 0.4401622704637905