интегралы математика для чайников

Ответ от Mk z[гуру]
площадь под кривой

Ответ от Мария Терентьева[эксперт]
Операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.
:))
1977 год. В ЗИСТе (Заочном институте советской торговли) идет экзамен по высшей математике. Почти все студенты - труженики прилавка. Им известно, что молодой и симпатичный экзаменатор почти никогда не ставит двоек. Для него уже заготовили дефицитные харчи, сложили в пластиковый пакет два батона сервелата, икру, горилку с перцем и коньяк.
Вот он входит, улыбается, здоровается. Одна из заочниц искусно изображает испуг. Олицетворяя собой девственную невинность, она лепечет: "Ой, боюсь, ой, засыплюсь, ой, все забыла!.. "
Преподаватель говорит: "Да не бойтесь вы, "неуд", скорее всего, ставить не буду, гарантирую, что если студент ответит хотя бы на один вопрос, получит "уд". Берите билеты, готовьтесь. И давайте постараемся, чтобы ни вы меня не огорчали, ни я вас".
Действительно, через пару часов не сдала всего одна - томная розовощекая девица, зав. отделом крупного гастронома, та, которая шептала "Ой, боюсь". У нее пустой лист, даже списать не смогла. По сути говорить с ней без толку. Была бы хоть какая-то зацепка.. .
- Я не успела подготовиться, - говорит она. - Вчера у нас был день рождения. Мамин. Уснула поздно.. . Ничего не помню. Может, вы мне дополнительный вопрос зададите?
- Ну ладно, - говорит препод. - Что такое интеграл? Расскажите своими словами.
Студентка долго молчит, потом говорит: "Я этот вопрос тоже не знаю. Может, вы мне еще один дополнительный вопрос зададите, последний, ну, пожалуйста? "
Преподаватель говорит: "Деточка, а как пишется знак интеграла, вы хоть знаете? "
Девица молчит. Препод подсказывает: "Вспоминайте, червячок такой, не спешите". И студентка не спеша рисует на бумаге ~~.
- Вертикальный, - поправляет преподаватель. И студентка рисует.
- Ну вот, - подводит итог экзаменатор, - на один вопрос ответили, а говорите, что все забыли. Тройка!

Ответ от Maxim Bondarenko[гуру]
Отображение - это правило по которому объекту одного множества ставится в соответствие объект другого. Например каждому человеку (из множества людей) ставится в соответствие его рост (из множества чисел) .
Частные виды отображений:
- фуккция (числу ставится в соответствие число - эту пару можно изобразить точкой, а множество таких точек называют графиком функции) ,
- функционал (функции ставится в соответствие число) . Например определенной форме графика (задаваемой функцией) можно поставить в соответствие его длину,
- оператор (функции ставится в соответствие фуккция) .
Так вот определенный интеграл - это функционал. В простейшем случае геометрически это число равное площади под графиком функции, а физически - перемещение если известна скорость (в общем случае переменная) . Короче результатом нахождения определенного интеграла от функции является число!
А неопределенный интеграл - оператор. Точнее оперетор обратный оператору дифференцирования (взятия производной) . Иными словами это функция такая, что ее производная равна функции которую мы интегрируем. Смысл производной в двух словах - скорость. (Тоесть функция ставящая в соответствие каждому моменту времени скорость в этот момент) . При дифференцировании мы переходим от функции ставящей в соответствие каждому моменту времени его координату, к функции скорости (тоесть применяем оператор) . А при интегрировании делаем наоборот. Это значит что результатом нахождения неопределенного интеграла от функции является функция! (Точнее множество функций, но это не очень существенно) .
Вообще я вам советую различать физическую интерпретацию и математическое определение (я тут немного перемешал).

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]