исследование функции при помощи производной

Ответ от Џна Александровна Ткаченко[активный]
Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т. е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).>f(x0).

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума. ) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)<f(x0),>0 при x<x0> x0, то x0 – точка максимума;

при x<x0>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x)<0 для x> x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x0) = f '(c)(x- x0), где c лежит между x и x0.

Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f '(c)>0. Поэтому f '(c)(x- x0)<0 и, следовательно,

f(x) - f(x0)<0,т. е. f(x)< f(x0).

Пусть x > x0. Тогда c> x0 и f '(c)<0. Значит f '(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) - f(x0)<0,т. е. f(x) < f(x0).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x0 f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f '(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства

f '(x)<0 при x< x1, f '(x)>0 при x> x1.

….

….