исследование ряда на условную и абсолютную сходимость

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Сразу видно, что абсолютной сходимости в обоих примерах нет: убывание общего члена порядка 1/ n.
Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда: достаточно монотонного стремления к нулю модуля общего члена.
а) f(x)=1/(x-(sin x)^2).
f'(x)= -(1-sin(2x))/(x-(sin x)^2)^2, положим x=n
(так как фактически аргумент функции пробегает только натуральные значения) :
f'(n)= -(1-sin(2n))/(n-(sin n)^2)^2. Так как n целое, то синус по модулю всегда строго меньше 1, и числитель всегда строго меньше 0, а знаменатель положителен. Итак, последовательность f(n) монотонно убывает. Очевидно,
f(n) --> 0. Ряд сходится.
б) f(x)=(2x+5)/(7x^2-3x),
f'(x)=-(14x^2+70x-15)/(x^2(7x-3)^2) < 0
при всеx достаточно больших х, значит, монотонность есть. Стремление к 0 очевидно. Ряд сходится.