колебания формулы

Ответ от ВЕТЕР[гуру]
Основные формулы
Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой A, периодом колебаний T, частотой
u, циклической (круговой) частотой omega и фазой колебаний varphi.
Амплитудой A называют наибольшее значение колеблющейся величины.
Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:
u=frac{n}{t}.
Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении 2pi с:
omega=frac{2pi{n}}{t}=2pi{
u}.
Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:
T=frac{t}{n}=frac{2pi}{omega}=frac{1}{
u}.
Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями
x=Asin(omega{t}+varphi_0),
v=dot x=Aomegacos(omega{t}+varphi_0),
a=ddot x=-Aomega^2sin(omega{t}+varphi_0)=-omega^2x.
Здесь (omega{t}+varphi_0) - фаза колебаний, а varphi_0 - начальная фаза.
Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила) , всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:
F=ma=-m{omega_0}^2x=-kx
где k=m{omega_0}^2 - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение x, равное единице.
При отсутствии сопротивления среды циклическая частота omega_0 свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период T равны:
omega_0=sqrt{frac{k}{m}}, T=2pisqrt{frac{m}{k}}
Период колебания математического маятника длиной l равен
T=2pisqrt{frac{l}{g}}.
Период колебаний физического маятника
T=2pisqrt{frac{I}{mgd}},
где I - момент инерции маятника относительно оси качаний, d - расстояние от оси его до центра тяжести.
Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна
W=frac{momega^2A^2}{2}.
Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления F_s пропорциональной скорости (F_s=-rv, где r - коэффициент сопротивления) имеет вид:
x=A_0e^{-eta{t}}sin(omega{t}+varphi_0).
Здесь A_0e^{-eta{t}} - убывающая по времени амплитуда смещения; eta - коэффициент затухания; omega - циклическая частота; A_0,varphi_0 - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.
Величины eta и omega выражаются через параметры системы r,m,k формулами:
eta=frac{r}{2m},
omega=sqrt{{omega_0}^2-eta^2}=sqrt{frac{k}{m}-frac{r^2}{4m^2}}.
Логарифмический декремент затухания
lambda=ln(frac{A_1}{A_2})=eta{T},
где A_1,A_2 - амплитуды двух последовательных колебаний.
Амплитуда вынужденных колебаний
A=frac{h}{sqrt{({omega_0}^2-omega^2)^2+4eta^2omega^2}},
где h - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; omega_0 - собственная циклическая частота; omega - циклическая частота вынуждающей силы.
Резонансная циклическая частота равна
omega_r=sqrt{{omega_0}^2-2eta^2}.
-------------