корень из 15

Ответ от Игорь Семененко[гуру]
Лучше всего калькулятором или на компьютере, но если калькулятор не берет квалратные корни, а компьютера нет под рукой, можно воспользоваться методом итераций (последовательных приближений) .Xn+1=(Xn+A/Xn)/2где Xn - текущее приближение, Xn+1 - новое приближение, А - число, корень которого нужно вічислить.Алгоритм прост (рассмотрим на примере числа 15, у меня есть инженерній калькулятор - вам советую тоже такой приобрести, стоят сейчас они не дорого - но для примера считать буду по формуле) .Итак, самый ответственный момент, выбор первого приближения, чем оно ближе к значению корня тем быстрее мы получим результат, но если ошибемся, то данная формула все равно приведет нас к решению, но за большее время.Для числа 15 можно взять пиближенное значение корня 3 или 4 (их квадраты соответственно 9 и 16, т. е. 15 где-то между ними хотчя это и не существенно - можно за начальное приближение взять и само число 15)Пусть х0=4 (начальное приближение)тогда х1=(х0+15/х0)/2=(4+15/4)/2=3,875х2=(х1+15/х1)/2=(3,875+15/3,875)/2=3,872983871....(все разряды, которые есть на индикаторе калькулятора)х3=(3,872983871 + 15 / 3,872983871)/2=3,872983346....х4=(3,872983346+15 / 3,872983346)/2=3,872983346....Как видно, при 4 праблежении на индикаторе калькулятора получили те же число, то можно принять приближенное значение корня равным 3,872983346 (погрешность вычислений 15 - 3,872983346^2=15-15=0)Вообще расчеты проболжаем до тех пор пока не получим нужного количества знаков после запятой, т. е. если нам нужен корень числа с 3 знаками (например) , то на 3 приближении можно было остановиться х3=3,8729(83346....)х2=3,8729(83871...), как видно 2-ое и 3-е приближения совпадают в 4-х знаках после запятой (берем на 1 знак больше, чем требуеться) и принимаем корень из 15 равным 3,873 (не забываем округлять до 3-х знаков) .Погрешность вычеслений в этом случае 15-3,873^2=15-15,000129=0,000129 или относительная 0,000129/15 *100=0,00086% - очень даже хорошо.При приближении равном 3:х0=3х1=(3+15/3)/2=4, ну а дальше мы уже делали (то есть менее удачное приближение увеличило числи вычислений, но результат все равно будет достигнут)При приближении равном 15:х0=15х1=(15+15/15)/2=8х2=(8+15/2)/2=7,75х3=(7,75+15/7,75)/2=4,8427,,,х4=(4,8427,,,+15/4,8427,,,)/2=3,9701,,,х5=(3,9701,,,+15/3,9701,,,)/2=3,8742,,,х6=(3,8742,,,+15/3,8742,,,)/2=3,8730,,,х6=(3,8730,,,+15/3,8730,,,)/2=3,8724,,,х7=(3,8724,,,+15/3,8724,,,)/2=3,8729,,,х8=(3,8729,,,+15/3,8729,,,)/2=3,8729На этом итерации прекращаем, и записываем ответ с 3 знаками после запятойкорень квдратный из 15 равен 3,873