круг с пи

Ответ от Nau[гуру]
Юбилейный мой тысячный ответ. :))
Вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3*r^2
Число "пи" () выражает отношение длины окружности к своему диаметру. В этом качестве оно известно человеку с древнейших времен.
В Древнем Египте полщадь круга диаметром d определяли как (d - d/9)2.. Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число "пи" считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т. е. = 3.160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавшей в Индии и возникшей в VI веке до н. э. ) имеется указание, из которого следует что число "пи" в то время принимали равным, что дает дробь 3.162...
Древние греки Евдокс, Гиппократ и др. измерение окружности сводили измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Однако, здесь их ожидали необьяснимые (с их точки зрения) трудности. Действительно, поскольку все построения выполнялись с помощью циркуля и линейки, все их попытки сводились к выражению отношения длины окружности к диаметру (т. е. числа "пи") рациональным числом, и поэтому заранее были обречены на провал.
Постепенно древние ученые поняли бесплодность подобных попыток и стали искать другой к подход к столь важной практической и теоретической проблеме.
Так Архимед, в III в до н. э. обосновал в своей работе "Измерение круга" три положения:
Постулаты Архимеда
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14.
Отношение любой окружности к ее диаметру меньше чем 3 1/7 и больше 3 10/71
Последнее. предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Таким образом с одной стороны Архомед определил, что =3.1419...,а с другой, он фактически создал понятие приближенного вычисления, и определил алгоритм приближенного вычисления числа пи. Впоследствии, практически все ученые древнего мира использовали аналогичный алгоритм в своих уточнениях числа "пи".
Так в Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу "пи" - 355/113.
В V веке н. э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение =3.1416927...
В превой половине XV в. н. э. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число "пи" с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*228 углов.
Алгоритм удвоения углов:
Формула удвоения связывает длины сторон an и a2n правильных n- и 2n- угольников, вписанных в окружность (диаметр равен 1):....
и позволяет, начав с правильного шестиугольника, длина стороны которого равна 1/2, вычислять последовательно a12, a24,a48,...пока не придем к значению параметра, отвечающего заданной точности вычислений. При этом можно доказать, что
Это неравенство позволяет не только установить сходимость процесса, но и спланировать вычисления заранее. Так если нам нужно обеспечить точность, равную 10-3, то достаточно взять n таким, чтобы выполнялось неравенство. или
Спустя полтора столетия в Европе Ф. Виет нашел число "пи" только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф. Виет первым заметил, что число "пи" можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять с какой угодно точностью. Однако только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден.
Первым ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У. Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взя
Источник: http(://)mathc(.)chat(.)ru/hist/pihist.htm