архимедово число

Ответ от ЗаХаРчИК[новичек]
pi — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа pi была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году [3] путём разложения числа frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел pi и pi^2.
pi — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа pi была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году [4].
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа pi, то доказательство трансцендентности pi положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа e^pi[5]. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа pi и e^{pisqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел pi+e^pi,pi e^pi и e^{pisqrt n}[6][7].
pi является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1/pi к кольцу периодов.

Ответ от Владимир Александрин[гуру]
Пи, p, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно — отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, p представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: p = 3,141592653589793238462643...
Нужды практических расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для p приближений с помощью рациональных чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тысячелетие до нашей эры) площади круга соответствуют приближённому значению p » 3 или, более точному, p » (16/9)2 = 3,16049... Архимед (3 в. до н. э.) , сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными многоугольниками, нашёл, что p заключается между
= 3,14084... и = 3,14285
(последним из этих приближений до сих пор пользуются при расчётах, не требующих большой точности) . Китайский математик Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в. ) получил для p приближение 3,1415927, вновь найденное в Европе значительно позднее (16 в.) ; это приближение даёт ошибку лишь в 7-м десятичном знаке. Поиски более точного приближения p продолжались и в дальнейшем, например аль-Каши (1-я половина 15 в. ) вычислил 17 десятичных знаков p, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало 17 в. ) — 32 десятичных знака. Для практических надобностей, однако, достаточно знать несколько десятичных знаков числа p и простейших выражений, содержащих p; в справочниках обычно даются приближённые значения для p, 1/p и p2, lgp с 4—7 десятичными знаками.
Число p появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф. Виета (16 в. ) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к этому же числу p. Примером может служить ряд Лейбница (1673—74):
Этот ряд сходится очень медленно. Существуют значительно быстрее сходящиеся ряды, пригодные для вычисления p. Так, например, формула
p = 24 arc tg + 8 arc tg + 4 arc tg
где значения арктангенсов с помощью ряда
arc tg x =
была использована (1962) для вычисления с помощью ЭВМ ста тысяч десятичных знаков числа p. Такого рода вычисления приобретают интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел. Статистическая обработка указанной совокупности знаков p показывает, что она обладает многими чертами случайной последовательности.
Возможность чисто аналитического определения числа p имеет принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой геометрии p также участвует в некоторых формулах, но уже не как отношение длины окружности к диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии вовсе не является постоянным) . Средствами анализа, среди которых решающую роль сыграла замечательная формула Эйлера e2pi= 1 (е — основание натуральных логарифмов, см. Неперово число; ), была окончательно выяснена и арифметическая природа числа p.
В конце 18 в. И. Ламберт и А. Лежандр установили, что p — число иррациональное, а в 1882 немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что оно трансцендентно, т. е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана окончательно установила невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки.

Ответ от Владимир Маркелов[гуру]
Странно, первая-же ссылка в поисковике выводит сюда:

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]