lim f x 0 построить график

Ответ от Колодич Юрий[эксперт]
Исследовать функцию и построить график:

1) Область определения, четность, периодичность.
а) Область определения D принадлежит R, кроме x1=-1 и x2=1 (x^2-1 не равно 0).
б) f(-x)=-2*x/((-x)^2-1)=-(2*x/(x^2-1))=-f(x), => функция нечетная.
в) Функция f(x) не является периодической, т. к. не существует отличное от нуля число T, такое, чтобы для любого числа x из области определения D функции f(x) числа x-T и x+T также принадлежали бы области определения D функции f(x), и, чтобы выполнялось равенство f(x-T)=f(x) и f(x+T)=f(x).
2) Непрерывность, асимптоты.
а) Функция имеет разрывы, исходя из области определения D, это: x1=-1 и x2=1.
б) Если х стремится к -1 слева (-1-h), где h очень маленькое, отличное от нуля число, то:
lim f(x)=2*х/(x^2-1)=2*(-1-h)/(1+2*h+h^2-1)=(-2-2*h)/(2*h+h^2)=-∞.
Если х стремится к -1 справа (-1+h), где h очень маленькое, отличное от нуля число, то:
lim f(x)=2*х/(x^2-1)=2*(-1+h)/(1-2*h+h^2-1)=(-2+2*h)/(-2*h+h^2)=+∞.
Если х стремится к 1 слева (1-h), где h очень маленькое, отличное от нуля число, то:
lim f(x)=2*х/(x^2-1)=2*(1-h)/(1-2*h+h^2-1)=(2-2*h)/(-2*h+h^2)=-∞.
Если х стремится к 1 справа (1+h), где h очень маленькое, отличное от нуля число, то:
lim f(x)=2*х/(x^2-1)=2*(1+h)/(1+2*h+h^2-1)=(2+2*h)/(2*h+h^2)=+∞.
Следовательно, x1=-1 и x2=1 являются вертикальными асимптотами функции f(x).
3) Монотонность и экстремумы.
а) Первая производная f(x): f’(x)=(2*(x^2-1)-2*x*2*x)/((x^2-1)^2)=-(2*x^2+2)/((x^2-1)^2),
=> значение f’(x) при любом значении x всегда отрицательно,
=> функция f(x) является убывающей на D.
б) Экстремумов нет, т. к. нет такого значения х при котором функция f’(x) была бы равна 0.
4) Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
а) Вторая производная f(x): f’’(x)=(-4*х+(2*x^2+2)*(2*х)) /((x^2-1)^4)=(4*x^2)/((x^2-1)^4).
f’’(x)=0 => в точке x=0 находится точка перегиба функции.
б) График функции f(x) является вогнутым на интервале (-1; 0), т. к. касательная к графику f(x) есть прямая g(х) (с наклоном f’(0)=-2) проходящая ниже графика f(x).
График функции f(x) является выпуклым на интервале (0; 1), т. к. касательная к графику f(x) есть прямая g(х) (с наклоном f’(0)=-2) проходящая выше графика f(x).
5) График функции:

Вычислить определенный интеграл:

Используя парциальное интегрирование получаем:
∫x*cos(x)=x*sin(x)-∫1*sin(x)dx=x*sin(x)+cos(x).
Учитывая границы интегрирования (0; π/6), получаем:
∫x*cos(x)=(π/6*0,5+√3/2)-(0+1)= π/12+√3/2-1.