линейная зависимость и независимость векторов

Ответ от Надя[гуру]
p=i-2j+k, q=7i+14j-13k, r=3i+j-2k.
Если эти векторы линейно зависимы, то найдутся такие НЕНУЛЕВЫЕ значения a, b, c что a*p+b*q+c* r=0.
Подставим координаты данных векторов в последнее равенство.
a*(i-2j+k)+b*(7i+14j-13k)+c* (3i+j-2k)=0
ai-2aj+ak+7bi+14bj-13bk+3ci+cj-2ck=0
(a+7b+3c)i+(-2a+14b+c)j+(a-13b-2c)k=0
Составим и решим систему:
a+7b+3c=0
-2a+14b+c=0
a-13b-2c=0
Вычтем из первого уравнения третье, получим : 20b+5c=0, откуда c=-4b.
Подставим это в первое и во второе уравнения, получим:
a+7b-12b=0 a-5b=0 a=5b
-2a+14b-4b=0 -2a+10b=0 a=5b
Решение системы зависит от b.
При любом ненулевом значении b будет получаться ненулевое решение системы вида (5b; b; -4b). Значит, будет выполняться равенство a*p+b*q+c* r=0, значит данные векторы линейно зависимы.
Подставим в последнее равенство найденное решение системы:
5b*p+b*q-4b* r=0 |:b
5p+q-4r=0 - зависимость, которая связывает эти векторы.