максимум и минимум функции

Ответ от Михаил Чебодаев[эксперт]
Минимум это самая нижняя точка в ямке, а максимум это самая высокая точка горки. Надеюсь, что объяснять, что такое ямка и горка не нужно. Единственно, о чем следует упомянуть, это о том, что рядом с одной самой глубокой ямкой может быть другая ямка менее глубокая. Самая низкая точка в этой ямке также является минимумом и часто называется условным минимумом (потому что рядом есть более глубокая ямка и условие минимума выполняется лишь с оговорками только в окрестности этого условного минимума) . Тоже самое с максимумами. Максимумы и минимумы называются экстремумами.
Чтобы найти где у функции находится экстремум надо исследовать функцию. Оказывается, что точки экстремума отличаются от всех остальных точек тем, что касательная в этих точках будет параллельна полу (для двухмерного графика функции параллельна оси OX). Также известно, что тангенс угла наклона касательной это ничто иное как производная функции (см. геометрический смысл производной) . А раз касательная идет параллельно оси OX, то угол наклона будет равен 0, поэтому и тангенс будет равен нулю. Отсюда получается, что необходимым условием существования экстремума является равенство 0 производной функции в точке экстремума. Если решить полученное уравнение (y’(x)=0) мы находим точки подозрительные на экстремум. Теперь каждую точку надо исследовать отдельно, т. е. сравнить ее со своим ближайшим окружением, чтобы определить будет она там минимумом, максимумом или это просто в этой точке функция себя ведет по типу ступеньки (что естественно не является ни максимумом, ни минимумом) . Чтобы провести такое сравнение нужно взять значение функции в точке экстремума и посмотреть будет ли она больше ближайших точек справа и слева от экстремума (максимум) или меньше (минимум) . А если с одной стороны функция больше полученной точки, а с другой меньше, то это как раз поведение типа ступеньки и в подозрительной точке нет ни максимума, ни минимума.
P.S. Вот вроде и все.