метод разделения переменных

Ответ от Коротеев Александр[гуру]
Интегрирование в известной степени обратно дифференцированию.
Если есть интеграл от f'(t) по dt, то он равен f(t) + C, где С - произвольная константа.
Ведь производная от ( f(t) + C ) равна f'(t), т. к. производная константы равна 0.
А дифференциал от f(t) есть df(t) = f'(t)dt
Интеграл от d(чего-то там) равен чему-то там + константа.
Это неопределённый интеграл.
Определённый интеграл берётся в некоторых пределах. От t1 до t2.
Тогда такой интеграл от f'(t)dt будет равен f(t2) - f(t1) - разности первообразных от подынтегральной функции в точках этих пределов. В произвольной константе необходимости больше нет, т. к. f(t2) + C - f(t1) - C - она просто сокращается.
Аналогично берётся определённый интеграл с переменных верхним пределом. От какого-нибудь t0 до t.
Если в предыдущем случае получалось ЧИСЛО ( f(t2) - f(t1) ), то тут получится ФУНКЦИЯ от t.
Обычно при этом подынтегральную функцию записывают с другой переменной, чтобы не путалась переменная интегрирования с переменным пределом, но реально на это иногда забивают, если и так всё понятно.
Итак, интеграл в пределах от to до t от функции f'(т) по dт равен f(t) - f(to).
Это и будет использовано.
С интегралами вообще - т. е. с правилом нахождения первообразных от типовых, элементарных функций, конечно, придётся разбираться. Например (неопределёный) интеграл от x^n равен 1/(n+1) * x^ (n+1) + const.
Очевидно, что если это продифференцировать по правилу для производной (x^n)' - n*x^(n-1), то получится исходная функция. Если знакомы хотя бы производные - надеюсь, это поможет понять цепочку преобразований.
****************
С разделением переменных вот какая вещь. Иногда удобнее решать уравнение собрав одну переменную (или функцию) и дифференциалы от них по разные стороны от знака равенства. Тогда можно обе стороны проинтегрировать - каждую по своему дифференциалу с согласованными переменными (обычно верхними) пределами.
dS = (Vo - bS)dt
разделение тут простое - надо просто поделить обе части на скобку и тогда, очевидно, переменные разделятся:
dS / (Vo - bS) = dt
Дальше надо взять два интеграла - один по dS, другой по dt.
По dt - от, вероятно, 0 до некоторого T, а по dS тогда - от S(0) до S(T)
(!не обязательно от 0 - можно и от другого To)
На этом разделение закончилось. Надо тупо брать сами интегралы.
вносим b под знак дифференциала, одновременно с этим надо на него поделить.
Vo тоже вносится, но т. к. это аддитивная постоянная - дифференциал не меняется.
Интегрируем же теперь от bS(0) - Vo до bS(T) - Vo - т. к. под дифференциалом выражение изменилось. Но это обычно тоже явно не пишут, ибо очевидно.
d(bS - Vo) / b(Vo - bS) = dt
вносим ещё знак минус, а b переносим в другую сторону, чтобы смотрелось лучше.
d(Vo-bS) / (Vo-bS) = -bdt
ещё один шаг; чтобы его понять, надо вспомнить производную логарифма
d( ln(Vo-bS) ) = d (-bt)
собственно интегрирование
ln (Vo-bS(T)) - ln (Vo - bS(0)) = -bT - (-b*0)
по свойству логарифма
ln ( (Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) ) = -bT
потенцируем
(Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) = exp(-bT)
приводим в цивилизованный вид
Vo - bS(T) = (Vo - bS(0)) * exp(-bT)
S(T) = Vo/b * (1-exp(-bT)) + S(0)*exp(-bT)
Ну и переменную T просто переименовываем в t для удобства. Когда процедура отработана это очевидное действие тоже особо не оговаривается.
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt)) + S(0)*exp(-bt)
В задаче по-видимому, есть какое-то начальное условие - задано S(0) явно или неявно (по смыслу задачи) . Если начальное условие таково, что S(0) = 0, то член с ним вылетает и остаётся то, что требовалось:
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt));
Для знакомого с аппаратом интегрирования чисто механически в этой задаче ничего сложного нет. Никаких хитрых замен делать не надо.
Подобные методы для решения задач вобщем-то часто вводятся и разбираются на уроках/лекциях по "физике" даже незадолого до того, как они формально и детально разбираются в "математике".
&gt^.^&lt

Ответ от Zamba Ekkelskof[гуру]
dS = (Vo - bS)dt ,
- 1/b * d(Vo - bS) = (Vo - bS)dt,
d(Vo - bS)/ (Vo - bS) = -b*dt,
d(ln(Vo – bS)) = d(-bt),
интегрируем и подстав пределы интегрирования, получим
ln(Vo – bS)(от 0 до S) = -bt(от 0 до t),
ln(Vo – bS) – lnVo = -bt,
ln((Vo-bS)/Vo) = -bt,
e^(-bt) = (Vo-bS)/Vo
Vo-bS = Vo * e^(-bt)
bS = Vo(1- e^(-bt))
S = (Vo/b)*(1-e^(-bt))

Ответ от Ivan Kunin[гуру]
разделим на множитель при диференциале времени
dS/(Vo - bS) = dt
интегрируем, слева выходит интеграл типа логарифма, справа от dt просто t, ну и еше пр. сталая, которую потом засунем куда-то
-1/b*ln(Vo-bS)=t+C
ln(Vo-bS)=-bt-bC
Vo-bS=exp(-bt-bC)
S=(Vo-exp(-bt-bC))/b=(Vo - exp(-bt)*exp(bC))/b
по-видимому из какого-то условия взяли что exp(bC)=Vo
вот и все

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Это вот как: dS/(S-Vo/b)= -bdt,
теперь интегрируем (интегрирование -
действие, обратное к дифференцированию) :
ln(S-Vo/b)=ln C-bt, проверьте
дифференцированием!
(Здесь С - постоянное число, которое пока
неизвестно. )
Потенцируем: S-Vo/b=Ce^(-bt), S=Vo/b+Ce^(-bt).
Теперь надо учесть начальное условие,
которое в книге есть, а у Вас отсутствует:
при t=0, должно быть S=0.
Отсюда: 0=Vo/b+C, C=-Vo/b,
Ответ: S=Vo/b*(1-e^(-bt)).

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]