Вывод формулы момента инерции цилиндра
Автор Pirat задал вопрос в разделе Наука, Техника, Языки
вывод формулы для момента инерции полого толстостенного цилиндра и получил лучший ответ
Ответ от AA[гуру]
Мда... У Левченко ничего не видно, кроме того, что расчёт выполнен с помощью интеграла :))
Относительно какой оси вращения нужно вычислить момент инерции?
Наверное, относительно геометрической оси цилиндра?
Тогда можно и без интегралов вывести, если вспомнить, что момент инерции сплошного цилиндра (а также и диска) радиуса R и массы m равен 0,5 * m*R^2.
В случае с толстостенным однородным цилиндром рассмотрим два цилиндра - сплошной и тот, что был вырезан из его полости.
Момент первого обозначим 0,5 * M * R^2, а второго 0,5 * m * r^2
Так как момент инерции - величина аддитивная, - то искомый момент равен просто разности этих моментов:
0,5 * ( M * R^2 - m * r^2). Где R и r - внешний и внутренний радиусы толстостенного цилиндра, а M и m - массы сплошного и внутреннего.
Остаётся только выразить массу через плотность материала ro и длину цилиндра L.
M = ro * V = ro * pi * R^2 * L
m = ro * pi * r^2 * L
Искомый момент равен:
0,5 * ro * pi * L * (R^4 - r^4)
Списывайте товорищи теретическую механику, ибо это большое зло для студента!
А тут можно и без интегралов сосчитать.
Момент инерции - аддитивная величина. Момент инерции системы из двух тел равен сумме их индивидуальных моментов инерции. Для обычного цилиндра (сплошного) момент инерции равен 1/2 mR². Так что представим себе сплошной цилиндр радиуса R как систему из сплошного цилиндра радиуса r и пустотелого цилиндра толщиной стенки от r до R. Момент инерции "внутреннего" будет 1/2 mr², всей системы - 1/2 MR². Осталось только понять, как связаны m и М. Ну это как раз просто - масса пропорциональна квадрату радиуса. Так что если известны масса m0 и размеры трубы, то масса этой фиктивной вставки m1 определяется из пропорции R² : r² = (m1+m0) : m1.
Всё, осталась простенькая арифметика.