найти все значения корня

Ответ от
Если извлекается корень 4 степени, то у данного комплексного числа будет 4 корня.
Представим комплексное число (-4) в тригонометрической форме:
-4 = 4*(-1 + 0 * i) = 4*(cos (Pi) + i * sin (Pi))
Теперь вынесем скобку с синусом и косинусом из-под знака корня:
(4 * (cos(Pi) + i*sin(Pi)))^(1/4) = 4^(1/4) * (cos ((Pi+2*Pi*k)/4) + i*sin((Pi+2*Pi*k)/4)) =
2^(1/2) * (cos ((Pi+2*Pi*k)/4) + i*sin((Pi+2*Pi*k)/4))
Подставим значения k=0,1,2,3:
k=0: z0 = 2^(1/2) * ( cos (Pi/4) + i*sin(Pi/4) )
k=1: z1 = 2^(1/2) * (cos ((Pi+2*Pi)/4) + i*sin((Pi+2*Pi)/4)) = 2^(1/2) * (cos (3Pi/4) + i*sin(3Pi/4) )
k=2: z2 = 2^(1/2) * (cos ((Pi+2*Pi*2)/4) + i*sin((Pi+2*Pi*2)/4)) = 2^(1/2) * (cos (5Pi/4) + i*sin(5Pi/4) ) = 2^(1/2) * ( cos (Pi/4) + i*sin(Pi/4) )
k=3: z3 = 2^(1/2) * (cos ((Pi+2*Pi*3)/4) + i*sin((Pi+2*Pi*3)/4)) = 2^(1/2) * (cos (7Pi/4) + i*sin(7Pi/4) ) = 2^(1/2) * ( cos (3Pi/4) + i*sin(3Pi/4) )
Всего получилось 4 корня (z0, z1, z2, z3), но они кратные (z0 = z2, z1 = z3),
поэтому ответ можно записать вот так:
z0, z2 = 2^(1/2) * ( cos (Pi/4) + i*sin(Pi/4) )
z1, z3 = 2^(1/2) * ( cos (3Pi/4) + i*sin(3Pi/4) )